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基本 例題 54 平面上の点の移動と反復試行
右の図のように,東西に4本, 南北に5本の道路がある。
地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ
向かう。このとき,途中で地点P を通る確率を求めよ。」
ただし,各交差点で, 東に行くか, 北に行くかは等確率と
し,一方しか行けないときは確率1でその方向に行くも
のとする。
00000
P
B
指針 求める確率を
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
から,
5C2 ×2C2
7C3
とするのは誤り!
基本 52 重要 55
これは,どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で, 本間は道順によって確率
が異なる。
例えば, A↑↑↑→→P-
→ Bの確率は
1 1 1
1
··1•1•1•1=-
2 2
2
8
A→1→↑↑P Bの確率は
→→
C D P
B
重要 例題
右図のような
出たら右へ 1
別に硬貨を1
たら下へ1目
れぞれ硬貨を
Aは点(0,
う確率を求め
A, B
指針
す
ゆえに
つまり
1 1 1 1 1
.
.
・1・1=
A, B
2
222
2
32
A
したがって,Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。
解答 α b
右の図のように,地点 C, D, C′, D', P'をとる。CP
解答Pを通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに
排反である。
P
AとB
a=4
C' D' P'
のとき
[1] 道順 A →C→C→P
この確率は1/2×2/3×1/2×1×1=(1/2)=1/3
したが
A
[2] 道順 A→D'′ →D→P
(c)
この確率はC.(1/2)(1/2)x1/1/2×1=3(12)
1161 111--と運
3
[1]
と進む。
[3] 道順 AP'′→P
[2] ○○○↑と進む。
この確率はC(1/2)^(1/2)×1/2=6(1/2)=1312
○には、1個と忄2個が
5
よって, 求める確率は 1
218
3
+
8 16 32
63
16 1
=
32 2
入る。
[3] ○○○○↑と進む。
○には2個と12個が
入る。