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数学 高校生

29番の(1)で必要十分条件を求める問題で、どちらが必要条件でどちらが十分条件か分からなくなってしまいました。考え方を教えて頂きたいです。

28 よって ここで ゆえに −(n=k+1}{n+k+1)+(n−k)(n+k) n→∞0 =-2k²+(2n²+2n+1) f(n)=-4 f(x)=x(2k² +2n² +2n+1) k²=0+22k², 1=2n+1 TA³5 k=1 −42 k²+(2n²+2n+1) (2n+1) k=1 − n(n+1)(2n+1)+(2n²+2n+1)(2n+1) lim 72-00 n³ (2) f(n) -1/(1+1/2)(2+1/2)+(2+1/2)(2+1)} =--²--1-2+2-2= 8 3 3 別解n≦x≦k, k≦x≦n と k<x<kに分けて,直線 y軸に平行な直線につ x=i (-n≦i≦n) 上にある格子点の数を求める。 さて格子点を数える。 = -n≦i≦k のとき, 格子点の数は k=-n 1+3++{2(n−k+1)−1}=(n−k+1)² = (+_____________ k<i<kのとき, 直線 x = i の本数は ←-k+1≦isk-1 各直線上の格子点の数は よって k-1-(−k+1)+1=2k-1 = I=gb S=b 2(n-k+1)-1=2n-2k+1 Nk=2(n-k+1)+(2n-2k+1)(2k-1) =-2k²+(2n²+2n+1) 総合を複素数とする。 自然数nに対し、2” の実部と虚部をそれぞれxとyとして、2つの数列 29 {Xn},{yn}を考える。 つまり, z=xn+iy" (iは虚数単位) を満たしている。 (1) 複素数zが正の実数と実数0を用いて z=r (cos0+isine) の形で与えられたとき、 数列{x},{ym} がともに0に収束するための必要十分条件を求めよ。 1+√3 10 = n(n+1)(2n+1) のとき、無限級数Σx とΣy はともに収束し, それぞれの和は n=1 71=1 x=2y=イロである。 (1) z=r (cos0+isin0) [r>0] のとき HINT (1) x²+y² = (r")2 となることに注目し, まず必要条件を求める。 (2) z を等比数列の和の公式を利用した式で表してみる。 ORAN z"=r" (cosnotisinn()=r"cosn0 +ir” sinne Xn=r" cosnd, yn=r"sinno よって ゆえに x2+yn²=(r")' (cos2nd+sin'nb)=(x2)" limxn=limyn=0のとき lim(x²+ym²)=0 〔類 慶応大] 本冊 例題 13,102 ←ド・モアブルの定理。 ←=xn+iy 0sr²<1 よって に0<r<1のとき 1-400 0<r<1より, lim|rl"=0であるから ゆえに 0≦|x|=||"|cos nolsrp. よって 0≦ly|=|||sinner| また 以上から、求める必要十分条件は +③iのとき 10 lim|x|=lim|y|= 0 71-00 ゆえに 1110 Z ここで1-2 lim xnn-000 ZR= ここで k=1 z(1-2)= 1-² よって 1- 1+√3 i 10 1+√3 i 10 k=1 84 3+5√3 i 42 (1+√3i)(9+√3 i) (9-√3i)(9+√3 i) 6+10√3i_3+5√3i 2x= k=1 1-2 (1-(xn+iyn)) 1+√3 i 9-√3i 11-0 0721 0<r<1 n=1] -(1-Xn-iyn) 2R= = 1/2 (3(1-xn) +5√3 yn+(5√/3 (1–xn)—3yn}i) z*= (xn+iyn)= xx+iZyn k=1 3(1-x₂)+5√√3 yn 42 ΣXn² n=1 42 5√3 (1-xn)-3yn 42 0</1/3 <1であるから, (1) の結果より limxn=limyn = 0 „=lim 11-00 2 k=1 2 = = = = ( 1²/2 + √²³_i) = = = (cos / 1 + isin) Σyn=lim- 11-0 ←Sa<1のとき a²19 a=1のとき、 α>1のとき、18 42 ←xel Saxolxel から、 xel 0のとき 初項z. 公比zの等比 数列の初項から第 環 までの和 12-00 3 (1-x)+5√3ym_3_71 42 5√3 (1-xn)-3yn_15√/3 42 -419 ←分母の実数化。 42 14 ← 22 のもう1つの表現。 ←実部、虚部をそれぞれ 比較。 (12) 結果を利用 総合 N=1 £ =lim ży

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数学 高校生

格子点の求め方が解説を読んでも分からなかったので教えて頂きたいです。存在範囲の頂点の所までは理解出来たのですが。直線y=xに平行で辺りからの説明が分からなくなってしまいました。

総合を正の整数とする。 右の連立不等式を満たす xyz空間の点P(x,y,z) 28 で、x,y,zがすべて整数であるもの (格子点)の個数をf(n) とする。 極限 f(n) を求めよ。 na lim n→∞ z=k(kは整数) とすると, 連立不等式から k-n≦x+y≦n-k かつ x+y=n-k x+y=k-n -k-n≤x-y≤n+k (x,y,z) が存在するためには k-n≦n-k かつ -k-n≦n+k (-n, k) LU x-y=-k-n (-k, n) 〔東京大〕 本冊 例題 89 x=y=n+k ( (n,-k) (k, − n) x+y+z≤n -x+y-z≤n x-y-z≦n -x-v+z≤n HINT z =kとおいてん のとりうる値の範囲を求 め, 平面 z =k上の格子 点の数をk, nで表し, 格子点の総数を求める。 ←空間を平面 z=kで切 口の図形を考え る。 から -n≤k≤n よって, 点 (x,y) の存在範囲は図から、4つの頂点が(-k, n). (-n, k),(k, -n (n-k) である長方形である。 この長方形にある格子点の個数を N とする。 直線y=x に平行で, 直線 x+y=n-k上の格子点を通る直線 ←直線y=xに平行で 上には (n-k+1) 個 また直線y=xに平行で,直線 x+y=n-k上の格子点を通らない直線上には (n-k) 個の格 子点があるから (n-k+1) 個の格子点を もつ直線は (n+k+1) 本, (n-k) 個の格子点をも つ直線は (n+k) 本ある。

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数学 高校生

ヨウ化水素の物質量の変化の図示が分かりません

基本例題34 電離定数 0.030mol/Lの酢酸水溶液の酢酸の電離度α および水素イオン濃度を求めよ。ただし、 酢酸の電離定数を2.7×10mol/L,αは1に比べて非常に小さいものとする ■解答 188 【mol/L] の酢酸水溶液において、 酢酸の電離度がαのとき、電離す る酢酸分子は co[mol/L] なので, 生じる酢酸イオン、水素イオンも ca[mol/L] となる。 電離平衡時の 量的関係を調べ, 電離定数K の 式に代入してc, α と K の関係 式をつくり、 αを求める。 このと き、実際にαが1に比べて非常に 小さいことを確認する。 目安は α<0.05程度である。 はじめ 平衡時 0 ca (mo < 1 であり, 1-α=1 とみなされるので, 電離定数は。 ように表される。 CH₂COOH CH3COO- +H* a = √ したがって, C c(1-a) [CH3COO-] [H+] Lah Jo Ka= [CH3COOH] 2.7×10-5 0.030 [知識] グラフ 323. 平衡状態と平衡定数水素1.00mol とヨウ 素1.40molを100Lの容器に入れ、 ある温度に保 った。このときの水素の物質量の変化は、図のよ うであった。 (1) 平衡状態における水素, ヨウ素およびヨウ 化水素のモル濃度を求めよ。 (2) 減少するヨウ素および生成するヨウ化水素 の物質量の変化を図示せよ。 (3) この反応の平衡定数を求めよ。 HOKUESE [H+]=ca=0.030mol/L×0.030=9.0×10mol/L. $5 (1) 3 Tom T. &IH (8) IH A |基本|問題| 119 つ選べ。 (ア) N2O4 と NO2 の濃度の比は1:2である。 (イ) N2O4 と NO2 の圧力(分圧)の比は1:2である。 (ウ) N2O4 の濃度は一定となっている。 (エ) 正反応と逆反応の速さは等しい。 (オ) 正反応も逆反応もおこらず、反応が停止している。 2NO2 の反応 [知識 322. 平衡状態四酸化二窒素 N2O4 をある温度, 圧力に保つと, N2O4 がおこり,平衡状態に達した。 平衡状態に関する次の記述のうちから,正しいものを [mol] 2.0 物質量 ca 1.5 (ca)² c(1-a) =0.030 SCIEN 49 kieuốc (S)(ung Fossh — (R),H&+ (2);M (1) SUL (1) HOOSH+HOOT,HO (1) MOOOHO (SE 1.0 =ca² 0.5 0 324. 平衡の量的関係 一定温度で平衡状態 CHICOOH +c 酢酸 H この温度にお 酢酸1.00mc で平衡状態に達 時間 - 例題 F (1) (2) 325. 反応量と解 入れると、二酸 をP[Pa], 四 N2O4 (気) 平衡状態 平衡時⊂ この反 (1) (2) (3) [知識] 326. 条件変 よって,平 (1) 302 N2+ 2HI (4) 2SC (5) NH (2) (3) 327. 平 Im 2SO (1) SC の (2

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数学 高校生

29.3 このような証明方法でも問題ないですよね??

基本例題 29 絶対値と不等式の不 82 00000 次の不等式を証明せよ。 明などの基本の (1)|a+b|≦|a|+|6|| (2) |a|-|6|≧|a+b) (3) la+b+cl≦lal+10+| 指針▷(1) 例題 28 と同様に,(差の式) ≧0は示しにくい。 重要 de+pas\\&+D\² $328 30 解答 |A=A2 を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 そこで A≧0, B≧0の A≧B⇔A'≧B'A'-B'≧0の の方針で進める。また、絶対値の性質(次ページの①~⑦) を利用して証明してもよい。』 (23)と似た形である。 そこで, (1) の結果を利用することを考えるとよい。 *****RO CHART 似た問題 11 結果を利用 ② 方法をまねる (1)(|a|+|6|)²-la+b=a²+2|a||6|+b²-(a²+2a6+62) ◄|A|²=A² <|ab|=|a||6| 2 =2(|ab|-ab)≧0 よって la+b≧(|a|+|6|) 2 |a+b≧0,|a|+|6|≧0から la+6|≦|a|+|6| 別解] 一般に,一|a|≦a≦|a|,-|6|≦6≦|6| が成り立つ。 H この不等式の辺々を加えて (a+16)≦a+b≦|a|+|6| したがって |a+6|≦|a|+|6| de (2)(1) の不等式での代わりにa+b, bの代わりに―6と おくと |(a+b)+(−b)| ≤|a+b|+|-b| de+pas ゆえに |a|-|6|≦la+6| よって |a|≧|a+6|+|6| 別解 [1] |a|-|b|<0 のとき よって a+b≧0であるから,|a|-|6|<|a+6|は成り立つ。 [2] |a|-|6|≧0のとき |a+b1²-(|a|-|6|)²=a²+2ab+b²-(²-2|a||6|+62) =2(ab+lab)≧0 よって (|a|-|6|)2≦|a+b2 |a|-|6|≧0,|a+b≧0であるから [1], [2] から lal-1b|≤|a+bl (3) (1) の不等式での代わりにb+c とおくと la+(b+c)|≦la|+|b+cl a+b+cl≦|a|+|6|+|c| 05 608- -B≦A≦B +S) ≤ ( ⇔[A]≦B ズームUP参照 DOCU (ay lal+1b/+/c/ a66650s |a|-|6|≦la+6| この確認を忘れずに。 |A|≧A, AI≧-A から -|A|≦a≦|A| P |a|-|6|<0≦|a+6 [2] の場合は, (2) の左辺, 右辺は0以上であるから, (右辺) (左辺)20を示 す方針が使える。 +04 105 (0+ 14-08- 133c¹2 (1) の結果を利用。 (1) の結果をもう1回利用。 (|b+cl≦|6|+|c|) 1+RB+++

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数学 高校生

(1)は24>x≧12という範囲でもいいですか?

**** 例題 25 不等式の応用 RUTHIOPS (1) Aさんの通う学校から自宅までの道のりは24km である.この道 のりを、初めは時速4km, 途中からは時速3kmで歩いたら, 所要 時間は7時間以内であった. 時速4kmで歩いた道のりはどれほど か. 5-\ $50 (>» (4) (2) 連続する3つの整数の和が37以上になるもののうち, その和が最 小となる3つの数を求めよ. ·DS+pl 考え方 未知のもの(求めたいもの) をxとおいて不等式 を作るとよい。 (1) 時速4km で歩いた道のりを xkm とする。 (道のり) = (速さ) × (時間) の関係を利用すればよい. 解答 (2) 連続する3つの整数は、 中央の数をxとおく と, x-1, x, x+1 と表すことができる. 学校 (1) 時速4km で歩いた道のりを xkmとすると. (7) Va+20 tl va 歩いた時間は,(時間) ・・・・・・① x 4 y + 「より大きい」 「より小さい」「未満」>,< 「以上」,「以下」......... M, ≦ 時速4km 時速3km -xkm (24-x) km. 24-x 3 道のり=速さ×時間 道のり 時速3kmで歩いた時間は, より 時間= 時速3kmで歩いた道 速さ (時間) ...... ② ①,②合わせて7時間以内であるから、Aのりは、全体24km 24-x+1 3 ≦7 からxkmを引けばよ 3 3x+4(24-x)≧84 より, x≧12 ID=A - よって、時速4kmで歩いた道のりは, 12km以上 時速4kmで歩)- ・24km 何をxとするか書く. 不等式を作る. 12 自宅 18 x

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