Question

みみ

格子点の求め方が解説を読んでも分からなかったので教えて頂きたいです。存在範囲の頂点の所までは理解出来たのですが。直線y=xに平行で辺りからの説明が分からなくなってしまいました。

総合を正の整数とする。 右の連立不等式を満たす xyz空間の点P(x,y,z)
28 で、x,y,zがすべて整数であるもの (格子点)の個数をf(n) とする。 極限
f(n)
を求めよ。
na
lim
n→∞
z=k(kは整数) とすると,
連立不等式から
k-n≦x+y≦n-k かつ
x+y=n-k
x+y=k-n
-k-n≤x-y≤n+k
(x,y,z) が存在するためには
k-n≦n-k かつ
-k-n≦n+k
(-n, k)
LU
x-y=-k-n
(-k, n)
〔東京大〕
本冊 例題 89
x=y=n+k
( (n,-k)
(k, − n)
x+y+z≤n
-x+y-z≤n
x-y-z≦n
-x-v+z≤n
HINT z =kとおいてん
のとりうる値の範囲を求
め, 平面 z =k上の格子
点の数をk, nで表し,
格子点の総数を求める。
←空間を平面 z=kで切
口の図形を考え
る。
から
-n≤k≤n
よって, 点 (x,y) の存在範囲は図から、4つの頂点が(-k, n).
(-n, k),(k, -n (n-k) である長方形である。
この長方形にある格子点の個数を N とする。
直線y=x に平行で, 直線 x+y=n-k上の格子点を通る直線 ←直線y=xに平行で
上には (n-k+1) 個 また直線y=xに平行で,直線
x+y=n-k上の格子点を通らない直線上には (n-k) 個の格
子点があるから
(n-k+1) 個の格子点を
もつ直線は (n+k+1) 本,
(n-k) 個の格子点をも
つ直線は (n+k) 本ある。

Nh=(n-k+1)(n+k+1)+(n-k)(n+k)
よって
f(n)= (-2k²+2n²+2n+1)
k=-n
n
ここで立-0+2 1-2n+1 であるから
k=-n
k=1
ゆえに
71171
=-2k²+(2n²+2n+1)
f(n)=−42 k²+(2n²+2n+1)(2n+1)
==
lim f(n)
n→∞ n³
3
=lim
n→∞
==
n
k=1
n
k=-n
²3_n(n+1)(2n+1)+(2n²+2n+1)(2n+1)
E+IA
n
← Σ k²
k=1
=
= n(n+1)(2n+1)
6
− 3²3 ( 1 + ²/2 ) ( 2 + 1/2 ) + ( 2 + 2²/2 + 1)(2+1) N=10
1/(1+1/21)(2+1/2)+(2+1/27
-1/8・1・2+2・2=
3
Segerse
8 (do) ****#0 (8)-(1)
大量
3
138 bit (lite (4)