Question

みみ

29番の(1)で必要十分条件を求める問題で、どちらが必要条件でどちらが十分条件か分からなくなってしまいました。考え方を教えて頂きたいです。

28
よって
ここで
ゆえに
−(n=k+1}{n+k+1)+(n−k)(n+k)
n→∞0
=-2k²+(2n²+2n+1)
f(n)=-4
f(x)=x(2k² +2n² +2n+1)
k²=0+22k², 1=2n+1 TA³5
k=1
−42 k²+(2n²+2n+1) (2n+1)
k=1
− n(n+1)(2n+1)+(2n²+2n+1)(2n+1)
lim
72-00 n³
(2)
f(n)
-1/(1+1/2)(2+1/2)+(2+1/2)(2+1)}
=--²--1-2+2-2= 8
3
3
別解n≦x≦k, k≦x≦n と k<x<kに分けて,直線
y軸に平行な直線につ
x=i (-n≦i≦n) 上にある格子点の数を求める。 さて格子点を数える。
=
-n≦i≦k のとき, 格子点の数は
k=-n
1+3++{2(n−k+1)−1}=(n−k+1)² = (+_____________
k<i<kのとき, 直線 x = i の本数は ←-k+1≦isk-1
各直線上の格子点の数は
よって
k-1-(−k+1)+1=2k-1 = I=gb S=b
2(n-k+1)-1=2n-2k+1
Nk=2(n-k+1)+(2n-2k+1)(2k-1)
=-2k²+(2n²+2n+1)
総合を複素数とする。 自然数nに対し、2” の実部と虚部をそれぞれxとyとして、2つの数列
29
{Xn},{yn}を考える。 つまり, z=xn+iy" (iは虚数単位) を満たしている。
(1) 複素数zが正の実数と実数0を用いて z=r (cos0+isine) の形で与えられたとき、
数列{x},{ym} がともに0に収束するための必要十分条件を求めよ。
1+√3
10
= n(n+1)(2n+1)
のとき、無限級数Σx とΣy はともに収束し, それぞれの和は
n=1
71=1
x=2y=イロである。
(1) z=r (cos0+isin0) [r>0] のとき
HINT (1) x²+y² = (r")2 となることに注目し, まず必要条件を求める。
(2) z を等比数列の和の公式を利用した式で表してみる。
ORAN
z"=r" (cosnotisinn()=r"cosn0 +ir” sinne
Xn=r" cosnd, yn=r"sinno
よって
ゆえに x2+yn²=(r")' (cos2nd+sin'nb)=(x2)"
limxn=limyn=0のとき
lim(x²+ym²)=0
〔類 慶応大]
本冊 例題 13,102
←ド・モアブルの定理。
←=xn+iy
0sr²<1
よって
に0<r<1のとき
1-400
0<r<1より, lim|rl"=0であるから
ゆえに
0≦|x|=||"|cos nolsrp.
よって
0≦ly|=|||sinner|
また
以上から、求める必要十分条件は
+③iのとき
10
lim|x|=lim|y|= 0
71-00
ゆえに
1110
Z
ここで1-2
lim xnn-000
ZR=
ここで
k=1
z(1-2)=
1-²
よって
1-
1+√3 i
10
1+√3 i
10
k=1
84
3+5√3 i
42
(1+√3i)(9+√3 i)
(9-√3i)(9+√3 i)
6+10√3i_3+5√3i
2x=
k=1
1-2 (1-(xn+iyn))
1+√3 i
9-√3i
11-0
0721
0<r<1
n=1]
-(1-Xn-iyn)
2R=
= 1/2 (3(1-xn) +5√3 yn+(5√/3 (1–xn)—3yn}i)
z*= (xn+iyn)= xx+iZyn
k=1
3(1-x₂)+5√√3 yn
42
ΣXn²
n=1
42
5√3 (1-xn)-3yn
42
0</1/3 <1であるから, (1) の結果より
limxn=limyn = 0
„=lim
11-00
2
k=1
2 = = = = ( 1²/2 + √²³_i) = = = (cos / 1 + isin)
Σyn=lim-
11-0
←Sa<1のとき
a²19
a=1のとき、
α>1のとき、18
42
←xel Saxolxel から、
xel 0のとき
初項z. 公比zの等比
数列の初項から第 環
までの和
12-00
3 (1-x)+5√3ym_3_71
42
5√3 (1-xn)-3yn_15√/3
42
-419
←分母の実数化。
42
14
← 22 のもう1つの表現。
←実部、虚部をそれぞれ
比較。
(12)
結果を利用
総合
N=1
£
=lim ży