下の問題の赤線部について質問です！ 数列を一般項にするとき、初項と公差は分かりますが、項数がnであることはどこから分かるのですか？🙇🏻‍♀️🙏🏻

応用 次の和Sを求めよ。 例題 0 4 S=1・1+2・2+3・2+......+n・2"-1 考え方 19ページで等比数列の和の公式を導いた方法を用いる。 ここでは,S 解答 と2S の差を計算する。 S=1・1+2・2+3・22+4・2°+... +η.2"-1 X 2S = 1・2+2・22+3・2°+…+(n-1)・2n-1+え・2" の辺々を引くと S-2S=1+2+2+2°+…………+2"-1-n・2" よって したがって -S=2"-1 2-1 n.2n S=n2"-(2"-1)=(n-1)・2"+1

赤い線で引いた部分の理由がわかりません。 教えてください

1 6 不等式の証明 るようにしたい。 2 (相加平均) (相乗平均) の等号成立条件 a>0,6> 0 のとき a+b ≧√ab 等号は a=b のとき成り立つ。 2 この大小関係を上手に使うと不等式が容易に証明できることがあるが,等号成立条件 に注意しないと,うまくいかないことがある。次の2つの例を見てみよう。 なお,a>0,60 とする 例1 (1+2/2)(1+号)≧4の証明 (相加平均) ≧ (相乗平均) により b 1+ ≧2 a b 基本例題 30 (2)の不等式 ≧9 の証明 [例2](a+1/2)(6+1/2) 2 (相加平均) ≧ (相乗平均) により a ... ≧2. a …② 2 at/2=2√//...③.6+/1/22√ 4b ≥2A (4) a 辺々掛けて(1+1/2)(1+号) ≧4 B) に対し b ④辺々掛けて (a+1/6)(6+1/2)=8 例1の証明はうまくいったのに,例2ではうまくいかない。 この違いはどこにある のだろうか? その理由は, 等号成立条件にある。 例1の①②の等号はともにα=bのときに成り立つから,不等式 A の等号もa=b のときに成り立つ。 よって、証明もうまくいったのである。 一方,例2 で, ③の等号は αb=1のときに成り立つのに対し, ④の等号は ab=4の ときに成り立つが, ab=1とαb = 4 を同時に満たす正の数α, 6 は存在しない。 よって, Bは不等式としては正しいが,等号が成り立つ (=8となる)ことはない。

式の展開が暗算で出来ません。一つ一つ書いてからじゃないと分からなくなってしまいます。暗算でできる人は公式を覚えてるんですか？解く時にコツなどがあれば教えて頂きたいです。写真の1枚目、2枚目の解き方を教えてほしいです。途中式もお願いします🙇🏻‍♀️

次の式を展開せよ。 (1) (a-2b+c) 2 2 =a-20 7

(2)の期待値を求める問題で、二回目に取り出す色があか、しろ、あお、のそれぞれのときの確率を求めたんですけど、あかの確率がどうしても解答のようにならないので、どこが悪いのか教えてください ちなみにあかの確率は 一回目(白)×二回目(赤)＋一回目(青)×二回目(赤)のときで... 続きを読む

大問番号 3 次の〔1〕 〔2〕 に答えよ。 イ 青玉が2個の全部で4個の玉が入っている。 の中に、赤玉が1個,白玉が1個, 袋の中から、1個の玉を取り出し, 赤玉が出たときは,その赤玉を袋に戻し,白玉,青 玉が出たときは、その玉を袋に戻さない。 この操作を2回行う。 ア (1)i) 赤玉を2回続けて取り出す確率は である。 イウ I (Ⅱ) 白玉と青玉を1回ずつ取り出す確率は である。 オ カキ () 2回目に青玉を取り出す確率は である。 クケ 2回目に取り出す玉の色によって, Xの値を以下のように決める。 赤玉のとき X=1, 白玉のとき X = 5, 青玉のとき X=3 コサ このとき,Xの期待値は である。 シ

この別解の途中式が知りたいです。 何度しても答えと違う式が出てきてしまって😿😿

172 重要 例題 1082円の共通接線 00000 C:x2+y2=4と円Cz:(x-5)'+y2=1の共通接線の方程式を求めよ。 指針 1つの直線が2つの円に接するとき,この直線を2円の 共通接線という。 共通接線の本数は2円の位置関係によって変わるが,この 問題のように、2円が互いに外部にあるときは,共通内接線 と共通外接線 がそれぞれ2本の計4本がある。 本 共通内線 また、共通接線を求めるときは, 共通外接線 と考えて進めた方がらくなことが多い。 C上の点(x1,y) における接線 xix+yiy=4円 C2 にも接する yA 上の接点の座標を (x1, y1) とすると 2+y^2=4 ...... 解答 に対する 接線の方程式は xx+yiy=4 ...... ② 2 C1 C2 直線 ②が円 C2に接するための条件は,円C2の 中心 (5,0) 直 ②の距離が,円 C2 の半径1 -2 O 2 4 16 -2 に等しいことであるから |5x1−4| =1 ① を代入して整理すると |5x1-4|=2 よって 5x1 -4 = ±2 6 したがって x1 = 2 5 5 6 x=1のとき,①から 64 y₁= ゆえに 25 y=±- 8-5 x₁= 2 のとき,①から 96 y₁= 25 よって = ゆえに、②から求める接線の方程式は 5 6 5 注意 直線 3x±4y=10 は共通内接線(上の図のA, B), 直線x±2√6y=10は共 接線 (上の図のCD) である。 別解] 共通接線の方程式をy=mx+n とすると,これが円 C, C2に接する条 11/8/2/22=4, 1/242/8y=4 すなわち 3x±4y=10,x±2√6y=1 4√6 5x1 0-8-S In それぞれ 15m+nl =2, したがって √m²+(-1)² =1 √m²+(-1)² ||=2ym²+1, 15m+nl=√m²+1 ー中心と直線の距離 よって ||=2|5m+n| ゆえに n=-10m 1 3n=-10 このようにして,一方の文字を消去し, 連立方程式を解く。 た asks [練習 円 Ci:x2+y2=9とC2:x2+(y-2)=4の共通接線の方程式を求めよ。 ③ 108

132のウなのですがやり方がわかりません。解説お願いします！図つけてくれるとありがたいです！🙇‍♀️

132 正多面体 1辺の長さがαである立方体の各面の中心(対角線の交 点)を結んでできる正八面体について考える。この正八 面体の1辺の長さはであり、体積は で ある。 また, 辺を共有する2つの面のなす角を0とす ると, cOSである。

（1）〜（3）の答えがこれで合っているか教えて欲しいです。（3）はまだ途中ですが、やり方が強引すぎると思うのでもっといい方法があればそれも教えてください🙇

2 A (3) 点Aから平面 CEF に垂線 AHを引くとき, 線分AHの長さを求めよ。 3・14 (金) 図形5 立体の中の平面に注目します 1辺の長さが4の正四面体 ABCD がある。 辺 AB 上に AE: EB3:1 となる点 Eをとり, 辺 ADの中点をFとする。 線分CEの長さを求めよ。 (2) CEFの面積を求めよ。 FP=1.. を求めて 169 メネラウスの定理 3 16. 13 48 13 HP 16 9 HF 4 = 1. 208 HPを求めて 14 三平方の定理EH=PHTEP よって、△CEFの面積は、AE=JP-EM 三平方の定理 77.2 3 23 3 14 14.2 2 (1). 余弦定理よりチ C B. ¥60 C. 「 3 (3) E B D. "CE² = BE² + BC² - 2 · BE. BC, ! =1+16-8.14.1 = =17-4 13 CE=J13 サ (2)余弦定理より、 CF² = 2² + 4² - 2.1.4..ē =4+16-8 12 CF=21 - EF2c32+22-2.3.8・ 9+4-6 7. 2 EF=17 19 COS LEFC 7+12- 2.17.2.13 3 3521 ②21 4√ √ 21.2 niti 7 √1391 EP=xとすると、PC=B3-x. 三平方の定理より、 FP≒ワーズ=12-(113-x) 2 7-x2=12-(13-21Bx+x) 782=12-13+2Bx-X2 1 2.13x=7+1. X- 48.113 EP: PC = 4√3 ・ 4.13 13 9513 13 13 =4:9. EQ=aとすると、QF=17.a 三平方の定理より、 13-92=12-17-257a+a²) 13-92=12-7+27a- 217a=13-5 a= 84円 457 25757 3f7 F@ = 7 7 〃

数II 正弦定理・余弦定理です 最後の変換がなぜこうなるのかわかりません😢

Focus 240 第4章 図形と計量 例題123 正弦と余弦の融合 13 87 △ABCにおいて, sin A sin B sin が成り立っている。 (1) cos A, cos B, cos C を求めよ. **** (2) A,B,Cのうち,2番目に大きい角は30°より大きいことを示せ a C=2Rより, b 考え方 (1) 正弦定理 sin A sin B sin C a:b:c=sinA: sin B: sinC となることを利用する. 081-0-A081- (2) 2番目に大きい角は, 2番目に長い辺の対角である. (辺と角の大小関係) 解答 (1) 正弦定理 a b C sin A sinB sin C a:b:c=sinA:sin B:sin C 条件より, sin A:sinB:sinC=13:8:7 したがって, a:b:c=13:8:7 081-8 =8m² となり, a=13k,b=8k,c=7k(k>0) とおけるa:b:c が定ま よって、余弦定理より, b²+c²-a² _ (8k)²+(7k)²—(13k)² cos A= 2bc 2.8k-7k 1 =- 2 11 cos B-a-b² (7k)²+(13k)² - (8k) 2 11 2ca = 2.7k-13k -= けで大きさは定ま ない。この比率を とおく. 7k- A 13 -8k B 13k _a2+b-c_(13k)2+(8k)2-(7k)2_231 cos C=- 2ab -= 2.13k 8k 26 (2)(1)より,a>b>c であるから, 2番目に大きい角は Bである. 22 CO8 B-11-20, co5.30=1313/3 cos B= = 13 26' 222=484, 2 26 01-5 で、( 02=.00=80 (13√/3)2=507a だから, cosB <cos 30° よって, B>30° ここが 辺と角の大小関係 (p.425 参照) -1 分かりません 30% cos B COS30 例 考え 解

(2)の問題です。解く際に急に3.7の二乗や3.8の二乗、4.1の二乗や4.2の二乗などの小数が出てきているんですが、この数字はどこからでてきたのですか。

共通なので 5 の大小を 演習問題 9 A=2+√14, B=1+√17 について,次の2つの方法で大小を比 較せよ. (1) A2 B2 を利用する方法. (2) √14 17 の小数第1位の数字を考える方法 Bくら よって

18（2）がわかりません 解説お願いします

[18 [2021 九州大] 座標平面上の3点 0 (0, 0), A (1, 0), B(0, 2) を考える。 (1) 三角形 OABに内接する円の中心の座標を求めよ。 (2)中心が第1象限にあり, x軸と軸の両方に接し, 直線ABと異なる2つの交点を もつような円を考える。 この2つの交点をP, Q とするとき, 線分 PQ の長さの最大 値を求めよ。 (2)円の半径をR とすると, 中心の座標は (R, R) である。 直線AB の方程式は y=-2x+2 すなわち 2x+y-2=0 よって、円の中心と直線ABの距離をとす ると d= 12R+R-21_13R-21 = √√22+12 √5 円が直線AB と異なる2つの交点をもつとき, d<Rであるから |3R-2| √5 <R 両辺は正であるから, 両辺を2乗して整理す ると R2-3R+1<0 B≤0 よって 3-√5<R<3+√5 ① 2 2 このとき,三平方の定理により d+ =R2 よって PQ2_16 16 (R2-3R+1) 5 右辺を整理して PQ-16-232-24 B2 2 P (R, R) 1 A x 422-4123R+1) 1228-4 PQZOであるから,R=2のときPQも最大で,最大値は したがって、①においてPQはR=2のとき最大値-18(-2)=4をとる。 2 すなつ よって, cは−1の約数となり ゆえに,f(-1) = 0から すなわち a²-262-1=0 (1) より α2=3m+1,62=3n よって 3(m-2n)=2 m-2n は整数であるから, 2 したがって、f(x) =0を満た (3) f(x)=0 の有理数解, は有理数であるから,互い p0 である。 更に,(2)よりは整数では f(r)=0 から 2m3+azy2+ すなわち よって したがって 2(2)² + a² 2q3+apa d2a2+a2 pgは互いに素であり、 ①に代入して整理すると すなわち 2=pp²+ よって、 は2の約数とな ②に代入して整理すると すなわち (a+26Xa a,b は整数であるから, よって (a+2b, e したがって (a, b)=( これらは a, b が3の倍