Question

kenT

赤い線で引いた部分の理由がわかりません。
教えてください

1
6
不等式の証明
るようにしたい。
2 (相加平均) (相乗平均) の等号成立条件
a>0,6> 0 のとき
a+b
≧√ab
等号は a=b のとき成り立つ。
2
この大小関係を上手に使うと不等式が容易に証明できることがあるが,等号成立条件
に注意しないと,うまくいかないことがある。次の2つの例を見てみよう。
なお,a>0,60 とする
例1 (1+2/2)(1+号)≧4の証明
(相加平均) ≧ (相乗平均) により
b
1+ ≧2
a
b
基本例題 30 (2)の不等式
≧9 の証明
[例2](a+1/2)(6+1/2) 2
(相加平均) ≧ (相乗平均) により
a
...
≧2.
a
…②
2
at/2=2√//...③.6+/1/22√
4b
≥2A
(4)
a
辺々掛けて(1+1/2)(1+号) ≧4
B)
に対し
b
④辺々掛けて (a+1/6)(6+1/2)=8
例1の証明はうまくいったのに,例2ではうまくいかない。 この違いはどこにある
のだろうか? その理由は, 等号成立条件にある。
例1の①②の等号はともにα=bのときに成り立つから,不等式 A の等号もa=b
のときに成り立つ。 よって、証明もうまくいったのである。
一方,例2 で, ③の等号は αb=1のときに成り立つのに対し, ④の等号は ab=4の
ときに成り立つが, ab=1とαb = 4 を同時に満たす正の数α, 6 は存在しない。
よって, Bは不等式としては正しいが,等号が成り立つ (=8となる)ことはない。

Answer 1

きらうる

書いてあるとおりなのですが、等号成立条件が例1のときは①②とも一緒なので良いですが、例2では③④は互いの条件が異なるので、成り立たないと言っています。

kenT

回答ありがとうございます！質問が曖昧ですいませんでした。
Bで与式が8以上であることが証明されているなら、それを十分条件として9以上ということも証明されているのではないかと考え、その時等号を同時に満たすaとb
がなく、＝8となることがなくても関係がないのではないかと思ったんですけど、なぜこれがうまくいってないとなるのか教えてください。

きらうる

なるほど。
Bの式は、例2の最初の式の範囲外の数字を含んでいて、
与式≧8　→　与式≧9
の十分条件は成立しないのだから、いちいちab=1、ab＝4を同時に満たすa,bが存在しないことを言う必要がないんじゃなか？　ということでしょうか。

たぶん、写真下部分の説明は、相加相乗平均を使って証明するとき、等号成立条件が成り立たないと、不等式も成り立たないこと言いたいだけなので、与式とB式の十分条件が成立しないことについては特に何も触れていないんじゃないでしょうか。
例1はよくても例2がダメだから、積の相加相乗は項ごとに証明をしてはダメだよってことがいいたいんじゃないでしょうか。