ドイツの数学オリンピックの問題です。 問題を解いたのですが、正しい回答なのか、また、どうやって数学的に答えるのか今一わかりません。ご回答､よろしくお願いいたします。日本語に訳してます｡ 2025年のドイツ数学コンテスト第4問は、長方形の枠を使った戦略ゲームがテー... 続きを読む

leswettbewerbs Mathematik 2025 Aufgabe 4 Für ganze Zahlen m,n ≥ 3 besteht ein mxn-Rechteckrahmen aus den 2m+2n-4 Randquadraten eines in mxn Quadrate unterteilten rechteckigen Feldes. Die Abbildung zeigt beispielhaft einen 4x7-Rechteckrahmen. Auf einem solchen mxn-Rechteckrahmen spielen Renate und Erhard nach folgenden Regeln, wobei Renate beginnt: Wer am Zug ist, färbt eine rechteckige Fläche, die aus einem einzelnen weißen Quadrat oder mehreren weißen Quadraten besteht; gibt es danach noch weiße Quadrate, so müssen diese weiterhin eine zusammenhängende Fläche bilden. Wer den letzten Zug macht, hat gewonnen. Bestimme alle Paare (m,n), für die Renate eine Gewinnstrategie hat. Anmerkungen: Zwei Quadrate, die sich nur an einer gemeinsamen Ecke berühren, sind nicht zusammenhängend. Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen. der Rückseite beachten! Nicht vergessen: Einsendeschluss 3. März 2025

この問題の（２）なんですが、左下の式の√３/4がどこから来るのかが分かりません！誰か解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

例題 啓林館 漸化式と図形() 右図のように、辺の長さが1である正 三角形からスタート (ステップ1) し, 多 A☆ 例 例題 例題 例 例題 例 (2) 多角形 T.の面積S をnを用いて表せ. 例題 角形の各辺を3等分し、3等分された辺 の長さに等しい正三角形をその辺の真中 ステップ1 ステップ2 ステップ3 に、多角形の外側に付加し、 新たな等しい長さの辺をもつ多角形を作る 操作を繰り返す. ステップの操作で作られる多角形を Tm とするとき, (1) 多角形 Tに含まれる辺の個数 α および1辺の長さ をそれぞ れを用いて表せ。 (鳥取大改) 解 (1)am は, 13, 公比4の等比数列より 1 2 は 1 公 1/2の等比数列より=(yg) (2) 多角形 T1 は, 多角形 T に, 1辺の長さ 1 の正 三角形がT の辺の数、 つまり 個加わる. 1辺の長さが1の正三角形の面積は, √3 より =S+- √3 2 √3 -In+1²xan X3-4-S ( 例題 例題 例 2つのとき Sa = S. + h = 1 今に as=48 9 = 11 = リー 4 3 -I 5 2° S₁<√ F.; n = 17- OK !! a=3 G2=12 I₁ = 1 e. ls= 3 + Ss=S2+ saz

高校数学の三角比の余弦定理の問題です。 261(1)で、まずaを求めたいのですが、自分で計算しても”4”にならなくて困っています。 青い矢印が書いてるところの途中式をもっと詳しく知りたいです。

FRE 261 次の△ABCにおいて、残りの辺の長さと角の大きさを求め よ。 (1)*6=√2,c = √3-1, A = 135° 教 p.163 問4 (2)a=2√2,6=√6-√2, C=120° (3)a=3√2,c=3+3√3, B = 45° 45°d * 262円に内接する四角形ABCD において, AB = 3, BC = 5, CD = 2, B=60° 3. とするとき,次の問に答えよ。 ただ 60° B し. 円に内接する四角形の対色 2、 Challenge p.164 問1

傍線部の部分の計算結果がなぜ 4√6 __ 3 になるのかが分からないです。教えて下さい🙇‍♀️

"Olnet (8) (2)a=4,A=60°B=45° のとき, bとRを 求めよ。 a = 4, A = 60°, B=45°であるから, 正弦定理 により 4 sin 60° よって = b sin45° 4sin45° √3 b = =4x = sin 60° 2 2 4√6 3 4 また, sin 60° 4 2 R = =2÷ =2R+5x=xS 3 大 = 2sin 60° sin 60° 2 3 2

高校数学の直角三角形と三角比についての問題です。 230と231で、sinとcosが同じ値になるのはどうしてなのでしょうか？

230C=90°の直角三角形ABC において, AB = 2, A = 63°の |教 とき、巻末の三角比の表を用いて, AC, BC を求めよ。 500m |教 10° C 231* 右の図のように、傾斜角が 10°の坂道を500m 登った A とき,垂直方向と水平方向 に,それぞれ何m移動したことになるか。 小数第1位を四 捨五入して答えよ。 ただし,sin10°= 0.1736, cos10°= 0.9848 とする。

部分積分だと思ったのですが、違うんですか？？ なぜ、[x(logx)²]１〜eとなってるんですか？ 赤丸のところです！

[ 0 e 求める体積をV, とすると, ここで, V₁-x(elogx)dx = 2 = (lnx) đọc. (logx)²dx √ √ = f(x)' (logx)² dx x (x)=x(logx)²]x (2log x). dx =e-2 2 √² logxdx le x -2[xlogx-x]=(x800) (2) =e-2 であるから, V₁ =πe(e-2). C₂ xol Q=zgoli C₁ y=elogx

この問題の四角で囲んだ箇所の計算が分かりません！誰か解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

1 等差数列と等比数列 (39) Think 例題 B1.16 等比数列と図形 **** ¥ Ai(1,α)/l 直線 y=ax (a>0) を l とする.ℓ上の点 A (1, α) からx軸に垂線を下ろし、その足B, からに垂線を下ろし, その足を A2 とする. さらに点Aからx軸に垂線を下ろし、その足 を B2 とする. 以下これを続けて, 線分 A3 B3, A,B, ･･････ を作る. また線分ABの長さを l とおく. (1) l1, l2, l3, ・・は等比数列であることを示せ. Az A3 O (2) li+ l2+ ls+ ...... + ln を a で表せ. (明治学院大改) 「考え方」 解答 y=ax と x軸のなす角を0とおくと, △AOBABABA2B2 A2B2A3co・・・・・・ より 0=∠AOB=∠ABA2=∠B1A2B2=∠A2B2A=...... (1)∠AOB= 0 とおくと, lAa より cost=- OB_ 1 OA₁ √a²+1 △ABA2△A,OB より, ∠ABA2= ∠AOB=0 したがって, A2B=AB cost=licoso 同様に, l2=A2B2=A2BICOSA B3 B2 L B₁ x A (1, α) より OB= AB=αであるから, OA₁ = √√a²+12 △ABA2とAOB ∠BA1 A2=∠OAB ( ∠AAB=∠ABO △ABIAA OB1 よって, ∠ABA2=∠AOB AAOBAA₁B₁A △BA2B2 の相似」 1 1.T =licoso.cost=licos'0= a²+1 なので, 1 同様にして, ln+1= -lm が得られる. '+1 よって, l1, l2, ls, ...... は, 初項 α. 公比 の等比数列である. +1 (2)0 より, 1 a²+1 a²+1 li+lz+ls+... + ln a{1-(a²+1)}_a{1-(a²+1)"} a°+1 (a+1)"-1_ (ω°+1)"-1 キ1 なので、 A2B2 を A B で表す できる. 1 初項 α,公比- a²+1 数列の第n項までの a a²+1 100% a a(a+1)-1 (a²+1)" dear Focus 図形のくり返し相似条件に着目し、隣接項の関係式を導 練習 直線 y=ax (a>0) をℓとする. l 上の点A(2, 2a) からy軸に垂線を 1.16 その足 B, からℓに垂線を下ろし、その足をAとするさらに点Aから *** 垂線を下ろし、 その足をB2 とする. 以下これを続けて, 線分A3B3, Al * a

緑の矢印の部分がわからないです。解説していてください🙇🏼‍♀️

5. Sketch the graph of y = 4 ln(2x+5) Remember to show the axis crossing points and the asymptotes. when x = 0, y = 4/n5 ⇒ y-intercept 10.4 In 5) when y=0, 0 = 4In (2x+5) 0= In (7x+5) 5) なぜ4なくなる? C° = 2x+5 0=loge (2x+5) x= -2 ⇒ x-intercept (-2,0) Vertical asymptote 2x+5:0 2x=-5 -2 X=-2.5 x= -2.5 [4m] y = 4n (2x+5) 4/15 6.4377... → X

3枚目の一番下の3行で、XkがX1になってるんですがどうしてですか？

|数学 (100分) (注)満点が 100 点となる配点表示になっていますが,数学科は満点が200点であ り,各問の配点は2倍となります。 I 次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び、その記号をマーク解答 用紙にマークせよ。ただし、同じ記号を2度以上用いてもよい。 (20点) 2 x3 ... Pn(πn,ym),. をと 曲線 C : y = の上に魚の列 Pi (π1,y1), P2 (æ2,y2), る。ただし,x1 = 1 かつ 0 <In+1 <zn (n = 1, 2, 3, ...)とする。Oを原点と し、線分 OP, OP +1 と曲線 C で囲まれた部分の面積を S とする。 Sn を In と +1で表すと ア 2 である。 さて、初項1 公比 の等比数列の第n項までの和 T は ま, P におけるCの接線と軸との交点の座標 rn が イ である。い 4 TnTn == 3 を満たすとする。このとき である。 lim In = →∞ 問題Ⅰのアの解答群 ウ ' n lim Sk 818 k=1 I 3 1 1 b 2 In+1 (1) 2 In+1 In Xn+1 In •² (1) (1) (1)

このような問題なんですが、2枚目の写真のようにここから先に進ところが意味がわかりません。 また、＝kとおくのはどんな意図があるんですか。

198 基本例 124 領域と1次式の最大・ 000 x,yが2つの不等式xyy-2x+5 を満たすとき, x+yの最大 び最小値を求めよ。 指針 連立不等式の表す領域 A を図示し, x+y=kとおいて,直線x+y=kが簡 有点をもつようなんの値の範囲を調べる。 境界線に円弧が現れるが、このような には、領域の端の点や円弧との接点でkの値が最大・最小になることが多い 看 検討 "=k" & 例題 12 直 最小値: みよう 円x2+ をP(1 すると 更に, 領域と最大・最小 CHART 多角形 頂点 境界線上の点 放物線・円 → 角(かど)の点、接点 に注目 であ の傾 に分 x2+y2=10.. 解答 ②①に代入すると ...... ①y=-2x+5 ...... ②とする。 x2+(-2x+5)=10 傾 整理して x2-4x+3=0 x=1,3 よって 10- x=3のとき y=-1 x=1のとき y=3, ②から ゆえに,円 ①と直線 ② の共有点の座標は ① -10 0 (1, 3), (3, -1) 連立不等式 x2+y'≦10, y≧-2x+5 の表す領域 A は 図の斜線部分である。 ただし、 境界線を含む。 10 ③ x+y=k とおくと,これは傾き-1, y切片んの直線を表す。 図から直線③が円 ① と第1象限で接するとき,kの値 は最大になる。 ① ③ を連立して x2+(k-x)^2=10 整理して 2x2-2kx+k2-10=0 xの2次方程式④ の判別式をDとすると D 2=(-k)-2(k^-10)=-k²+20 4 直線 ③が円 ①に接するための条件は よって -k'+20=0 ゆえに D=0 k=±2√5 第1象限ではx>0,y>0であるから, ③よりk>0で k=2√5 このとき ④の重解は -2.2/5 31 x=- == =√5 2-2 ③から 次に、直線②の傾きは-2, 直線 ③の傾きは -1 で, y=2√5-√√5=√√5 -2<-1であるから,図より,kの値が最小となるのは, 直線 ③が点 (3,-1) を通るときである。 このときの値は 3+(-1)=2 したがって x=√5,y=√5のとき最大値 2√5; x=3, y=1のとき最小値 2 <直線 y=-x+kを Aと共有点を 平行移動 片kの値が最大 ところをさがす T ■2次方程式 ax²+bx+c= が重解をもつとき 重解はx=20 直線 ②と③の 較。 練習 ③ 124