なぜS1とS2で分けるのですか？

60 第8章 数列 [Check] 例題 257 既約分数の和 考え方 pは素数,m,n は正の整数でm<nとする.m を分母とする既約分数の総和を求めよ. 具体的な数で考えてみる.たとえば,2と4の間 (2以上4以下)にあって,5を分 母とする数は, Flocus 10 (-2), 11, 12, 13, 14, 15 (-3), 16, 17, 1 5 5 5 つまり, 2, 2+1/13, 2+1/23 2+10 となり,初項2 公差 1/3の等差数列にな m以上n以下で』を分母とする数は、考え方を見る。 mp (=m), mp+1_mp+2 p か Þ' つまり,初項m, 公差 1/3の等差数列となる。 項数np-mp +1, 末項nであるから, その和 S は, +02= っている. 項数は分子に着目して 11 (=20-10+1) 個である. これらの和を求めて、そのうち既約分数にならないもの(整数) を引くとよい。 ...... 整数の また、このうち, 既約分数でない数は, m,m+1,m+2, n-1, n *** mとnの間にあって、 (同志社大) S=1/12 (np-mp+1)(m+n) ……① S₁2 S2=1/12 (n-m+1)(m+n).....② == =- 1 公差の等差数列 か 項数をkとすると n=m+(k-1)} *), k= (n-m)p+1 だから, S₁={(n-m)p+1} つまり,初項m, 公差1の等差数列であり、 Sx(m+n) 項数n-m+1,末項nであるから, その2は,としてもよい . 分母が素数であるから, np-1 np ²(=n) p' p =1/12 (m+n)(n-m)(p-1) 5' 5' 5'5'5 よって 求める和Sは, ①, ② より CRE 201 S=1/12 (np-mp+1)(m+n)-1/12(n-m+1)(m+n) (m+n)(np-mp+1-n+m-1) 18 19 20 (4) 具体的な数で調べて規則性をみつける 注素数を分母とする真分数の和は 0>80+n8 (1-x)+08-SIA- まずはすべての分数の 和を求める. S=1/(数) x (初項+末項) 既約分数でないものは からnまでの整数に なる. 項数n-(m-1) S1 から S2 を引けば, 既約分数のみの和とな る. S=S-S2

群数列 (2)どのように計算したら分子が39になるのか教えてください。

386 重要 例題 24 数列 群数列の応用 3 5 1 3 2'2'3'3'3'4'4'4'4'5' , 1 1 3 第1群 1個 (1) は第何項か。 (3) この数列の初項から第800頃までの和を求めよ。 (3) は,まず第n群のn個の分数の和を求める , 解答 11 31 3 51 3 5 71 12'23 3'34'4'4'45' のように群に分ける。 (1) は第8群の3番目の項である。 8 CHART & SOLUTION ** 群数列の応用 ① 数列の規則性を見つけ, 区切りを入れる ② 第群の最初の項や項数に注目 分母が変わるところで区切りを入れて群数列として考える。 (1), (2)は,まず第何群に含ま れるかを考える。 (2) では, 第800項が第n群に含まれるとして次のように不等式を立てる。 ½ k + 3 = 1/1/2 -・7・8+3=31 であるから k=1 群 第2群 第3群 個数 2個 3個 →第(n-1) 群の末頃までの項数 <800≦第n群の末頃までの項数 39 800-k=800- 11/139 2 k=1 5 |第(n-1) 群 (n-1) 個 39 (2) この数列の第 800 項を求めよ。 ゆえに, 求める和は k+ 1 7 (3)第n群のn個の分数の和は②2k-1) - 1/1/2 ■20401 第31項 3 5 + + ·+· k=1 40 40 40 1 1 (1 第1群 n 1 Joglopig s 1 006 n-l (2)第800項が第n群に含まれるとすると Σk <800 群までの項数は k=1 39 40 11 2k k=l よって (n-1)n<1600≦n(n+1) 39･40 <1600 ≦40･41 から, これを満たす自然数nはn=401600402から判断。 の不等式を解くので ・39・4020 であるから はなく見当をつける。 ←①でn=40, m=20 について • n² = n 00000 ·+· k=1 39 40 BELOOD ・第800項はここに含まれる 基本 23 第n群の番目の項は 2m-1 ① n ←①でn=8,2m-1=5 200 A=1 kは第7群までの項数 - Σ (2k-1) k=1 =2•½n(n+1)=n=n² 1から始まるn個の奇

明日定期テストです😭😭😭😭😭初項なんで10以上なのかだけ分かりません💦それ以外は分かります👌🏻💓

例題 B1.6 2つの等差数列に共通な数列 初項4, 公差3の等差数列{an} と, 初項 200, 公差 -5 の等差数列{6²} がある. 数列{an} と数列{bn}の共通項を, 小さい方から順に並べてでき る数列{C}の一般項と総和を求めよ. 考え方 解答1 |解答 1 数列{an}と数列{bn}の正の項を小さい順に並べた数列{d} を書き出すと,数列 {cm}の初項がみつかり、数列{cm} の規則性もわかる. 解答2 (数列{an}の第l項)=(数列{bn}の第m項)として、自然数 em の関係式を 求め, l, m のいずれかを自然数kで表す. {an}: 4,7, 10 13 16, 19,222528, 数列{bn}の正の項を小さい順に並べた数列{an}は, {d}:5,10,15, 20 25, 30, M よって, 共通項の数列{cm}の初項は10 数列{an}の公差は 3. 数列{dn} の公差は5であるから. 数列{cm}は3と5の最小公倍数 15 を公差とする等差数 列である。 よって、数列{cn}の一般項は, cn=10+(n-1)×15=15n-5 また. 10≦ch 200 より. 10≦15-5≦200 41 したがって、1≦ns 4 より n=1, 2, ...... 13 よって、数列{cm} の総和は, ARRE 1/12 13{2×10+(13-1)×15}=1300 解答2 =4+(n-1)×3−2 an=4+(n-1)-3 =3n+1 bn=200+(n-1)・(-5) =-5n+205 b"> 0 となるnの値は, n≤40 より. 数列 {dm}は. d=b=5 で 公差は5 第8章 { cm} は初項c=10 以上, {6²}の初項 200 以下であ る。 |S₁=n(2a +(n-1)d}

この問題の解答の❗️においてnが5以上なのはf1(x)というのが定義されてないからですか？ また、そういう時に勝手にf(x)=f1(x)とするみたいなのは書いてはいけないのでしょうか？

ついて整理 重要 例題100 分数関数をn回合成した関数 x=1,x=2のとき, 関数 f(x)= 2x-3 x-1 f(x)=f(f(x)), fa(x)=f(fz(x)), ....., このとき, fz(x), f(x) を計算し, fn(x) [n≧2] を求めよ。 解答 指針 fn(x) を求めるには, fz(x), f(x), この問題では, (fofr)(x)=x, つまり fari(x)=x [恒等関数] となるものが出てくるから、 と順に求めて、その規則性をつかむ。 fn(x)はx, f(x), fz(x), ......, fn(x) の繰り返しとなる。 なお, fz(x), f(x), と順に求めた結果, fn(x)の式が具体的に予想できる場合は, 予想したものを数学的帰納法 (数学B) で証明する。という方針で進めるとよい (→下 の練習 100)。 f(x)=f(f(x))=2f(x)-3 よって f(x)-1 _2(2x-3)-3(x-1) 2x-3-(x-1) fs(x)=f(fz(x))= 2･ x-3 x-2 x-3 x-2 2(x-3)-3(x-2) x-3-(x-2) = = -1 について, -3 2. =x n=3mのとき fn(x)=x; fn(x)=f(fn-1(x)) [n≧3] とする。 基本 98 2x-3 x-1 2x-3 x-1 x-3 x-2 程式 6 ◯方が多い。 いて, a.ko ることができ 値が⑤.⑥t 忘れずに観ゆえに,fn(x)=fn-3(x) [n≧5] が成り立つ。 すなわち, m を自然数とすると f(x)=f(f(x))=f(x), f(x)=f(f(x))=f(f(x))=fz(x), f(x)=f(fs(x))=f(fz(x))=f(x), --3 -1 n=3m+1のとき fn(x)=2x-3; x-1 n=2,3m+2のとき fn(x)=x-3 x-2 171 分母・分子にx-1 を掛け る。 分母・分子にx-2 を掛け る｡ 恒等関数。 f(x)=f(x), f(x)=fz(x), f(x)=f(x), 3章 3 逆関数と合成関数 の関数f(x)=ax+1 (0<a<1) に対し, f(x)=f(x), fz(x)=f(fi(x)), 13 f(f(x)) [n≧2] とするとき, fn(x) を求めよ

この問題の解法について質問です。　解答3の①の部分はどうしてこのようにおけるのでしょうか？　詳しく知りたいです。

201 注 例題 262 3で割ると余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る3桁の正の整数 のうち、最大のものを求めよ. 不定方程式の応用(1) 考え方 3で割ると2余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る整数をNとする。 (その1) Nは整数x, y, z を用いて, N=3x+2=5y+3=7z+4 と表せるの yz についての不定方程式ができる。 3で割ると2余る ⇔ 5 で割ると3余る ⇔ 7で割ると4余る⇔ これらからNの規則性を見つける. (その3) 問題文の「3で割る, 5 で割る, 7で割る」から,N=15g+356+ b,cは整数)という数を考え, 合同式 (p.440) を利用する. (その2) N+1は3の倍数 N+2は5の倍数 N+3は7の倍数

この問題の合同式を使った解法について質問なんですが、最初のNはなぜこのように置けるのでしょうか？

S 整数の性員 例題262 考え方 3で割ると2余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る3桁の正の整数 のうち、最大のものを求めよ. 不定方程式の応用 (1) (その1) Nは整数x, y, z を用いて, N = 3x+2=5y+3=7z+4 と表せるの 3で割ると余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る整数をNとする。 y, zについての不定方程式ができる. 3で割ると2余る← 5 で割ると3余る 7で割ると4余る⇔ これらからNの規則性を見つける. 問題文の「3で割る,5で割る, 7で割る」から, N=15α+35万+ b,cは整数)という数を考え, 合同式 (p.440) を利用する。 (その2) (その3) N+1は3の倍数 N+2は5の倍数 N+3は7の倍数 答1 3で割ると2余り, 5で割ると3余り 7で割ると4余る 整数をNとおくと, N=3x+2=5y+3=7z +4 (x,y,zは整数) とおける. 3x+2=5y+3 より, 3x-5y=1 .....① .....1 ①の解の1つは、x=2, y=1 であるから 3×2-5×1=1 ...... ② 0304 3(x-2)-5(y-1)=0 ①-②より, したがって, 3(x-2)=5(y-1) り,x-2は5の倍数であり, kを整数とすると, x-2=5k, すなわち, x=5k+2 ...... ③ 3x+2=7z+4 3と5は互いに素よ また, ③より, 3(5k+2)+2=7z+4, すなわち, 24 15k-7z=-4 ...... ・④ ④の解の1つは,k=3, z=7 であるから, 15×3-7×7=-4 ...... ⑤ 5 ④ - ⑤ より, 15(k-3)-7(z-7)=0 ミ まず不定 3x+2= を考え 次に |3x+ を考

どこから15a+35b+21cが出てきたのですか？

考え方 解 1 例題234 整数の除法の利用 3で割ると余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る3桁の正の整 数のうち,最大のものを求めよ. (その1) 題意を満たす数を書き並べて規則性を見つける. 3で割って2余る数 2,5,8,11,14, 5で割って3余る数 38 13,18,23, となり,この両方を満たす数は, たとえば8である. (その1)の考え方を数式で表してみる。 (その2) (その3) (その4) 不定方程式の考えを利用する. (p.401 例題 227 参照) 整数x, y, zを用いると 3で割って2余る数は, 3x+2 5で割って3余る数は, 5y+3 7で割って4余る数は, 7z +4 である. おき方を工夫して, p.398で学習する合同式を利用する. 「3で割って余りが 2, かつ5で割って余りが3である数」 188 37 ……① を書き並べると, 0001> 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, *100=1 ...... 4, 11, 18,25,32, 39,46,53, となり,共通な数として1番目に出てくるのが53で, 以降, 105 ごとに出てくるので,これらの数は, 53+105k (k=0, 1, 2, 3, ) と表せる. ここで,53+105k<1000 より, 947 k<- -=9.01･･･ 105 よって、求める数は, 3,8, 13,18, 23, 28, 33, 38, となり、共通な数として1番目に出てくるのは8, 2番目に 23,3番目に38であり, 以降, 15ごとに現れる. したがって, ① は, 「15 で割ると余りが8の数｣に一致する. いま,この数に「7で割ると余りが4の数」 を書き並べると,公倍数 8, 23, 38, 53, 68, 83, ...... 53+105・9=998 1 約数と倍数 *** 8:58+18 (p.412 に続く) それぞれ実際に書き 出してみる. 8,23,38, 15 15 15 15は3と5の最小 105は7と15の最 小公倍数 3桁の数だから 1000 より小さい。 411 整数の性質

この問題の最後の部分について質問があります 赤四角の“ゆえに〜”の証明の仕方が数学的帰納法なのか自分では理解できません。 n≧４でも成り立つと思うのに、なぜn≧５の時に成り立つのですか？ それで証明できるのも不思議です。 また，nで場合分けしてるのは何故ですか

重要例題100 分数関数をn回合成した関数 2x-3 x-1 について, ......, fn(x)=f(fn-1(x)) [n≧3] とする 9 x=1,x=2のとき, 関数f(x)= f(x)=f(f(x)), f(x)=f(fz(x)), このとき, fz(x), f(x) を計算し, fn(x) [n≧2] を求めよ。 基本! と順に求めて, その規則性をつかむ。 指針▷fn(x) を求めるには, fz(x), f(x), この問題では, (fofk)(x)=x, つまり fk+1(x)=x [恒等関数] となるものが出てくるから, fn(x) は x, f(x), fz(x), ...... f(x) の繰り返しとなる。 - ..... なお, fz(x), f(x) ････ と順に求めた結果, fn(x) の式が具体的に予想できる場合は, 予想したものを数学的帰納法 (数学B) で証明する, という方針で進めるとよい (→下 の練習 100)。 ......

合同式を用いた回答の方が分からないのですが、なぜ偶数と奇数で場合分けをしているのですか？

534 XX 重要 例題 100 等差数列と等比数列の共通項 00000 列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{cn} を作るとき, 数列{cm) 数列{an}, {bn}の一般項を an=3n-1,bn=2" とする。 数列{bn}の項のうち、数 の一般項を求めよ。 CO 重要 93. 基本 99 指針▷>2つの等差数列の共通な項の問題 (例題93) と同じように,まず,a=bmとして、1mの 関係を調べるが,それだけでは {cn}の一般項を求めることができない。 そこで,数列{an}, {bn}の項を書き出してみると,次のようになる。 (an): 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, {bn}: 2,4,8,16,32, を順に調べ、規則性を a=by, Ca=bs, Ca=bs となっていることから,数列{bn} を基準として, bm+1 が数列{a の項となるかどうか, bm+z が数列{an}の項となるかどうか、 見つける。 解答 α = 2, b=2であるから C1=2 数列{an}の第1項が数列{bn} の第 m 項に等しいとすると規測性から 3-1=2m 答えを予想はできたこ ゆえに bm+1=2m+1=2m・2=(3Z-1)・2 ...... =3.21-2 よって, bm+1 は数列{an} の項ではない。 ①から bm+2=26m+1=3・4l-4 =3(4-1)-1 ゆえに, bm+2 は数列{an} の項である。 したがって {C}:b1,63,65, 数列 {cm} は公比22の等比数列で, C1 = 2であるから Cn=2.(22)"-1=22n-1 20 3･O-1 の形にならない。 22"=4"=1"≡1(mod3) [2] m=2n-1(nは自然数) とすると THE JAN ,830 V-b (s) cn=1412 などと答えてもよ 検討 合同式(チャート式基礎からの数学A 参照) を用いた解答 3n-1=-1≡2(mod3) であるから, 2=2 (mod3) となるm について考える。 [1] m=2n(nは自然数) とすると 22n-1=22(n-1).2=4”-1.2=1"-1.2=2 (mod3) [1], [2] より m=2n-1 (nは自然数) のとき 2が数列{cm} の項になるから Cn=bzn-1=22n-1 重要 初項が 10g103= C41) 10 △×(2) 初 指針 練習 数列{an},{bn}の一般項をan=15n-2, bm=7.27-1 とする。 数列{bn}の項のう (④4) 9 100 ち, 数列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{cm} を作るとき, 数列 {C}の一般項を求めよ。 03102 解 (1) 初 103- s +6 各 ゆ よ す n

合同式を用いた回答の方が分からないのですが、なぜ偶数と奇数で場合分けをしているのですか？

534 ME XX 00000 重要 例題 100 等差数列と等比数列の共通項 列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{cn} を作るとき, 数列{cn 数列{an}, {bn}の一般項を an=3n-1,bn=2” とする。 数列{bn}の項のうち、数 の一般項を求めよ。 重要 93 基本 99 指針▷>2つの等差数列の共通な項の問題(例題93) と同じように,まず,a=bmとして、1mの 関係を調べるが, それだけでは {cn}の一般項を求めることができない。 そこで, 数列{an}, {bn} の項を書き出してみると,次のようになる。 (an): 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, {bn}:2,4,8,16,32, Handlin を順に調べ､規則性を Ci=b, Ca=b3, C3 = bs となっていることから,数列{bn}を基準として, 6m+1 が数列{0.² の項となるかどうか, bm+2 が数列{an} の項となるかどうか、 見つける｡ 解答 a1=2, b=2であるから C1=2 数列{an}の第1項が数列{bn}の第m項に等しいとすると 3l-1=2m U-18 ゆえに bm+1=2m+1=2m・2=(3-1)・2 = 3.21-2 よって, bm+1 は数列{an} の項ではない。 ①から bm+2=26m+1=3.4l-4 =3(4-1)-1 ゆえに, bm+2 は数列{an} の項である。 したがって {C}:b1,63,65, 数列 {cm} は公比 22 の等比数列で, C1 = 2であるから Cn=2.(22)"-1=22n-1 22n=4"=1"≡1(mod3) [2] m=2n-1(nは自然数) とすると 規測性から 答えを予想はできたこ SS 3･O-1 の形にならない。 JANE 重要 初項が 10g10 3= 141) 10 △×(2) 初 30 \-=b (s) 7V=5,2V=D 検討 合同式(チャート式基礎からの数学A 参照) を用いた解答 3n-1=-1≡2(mod3) であるから, 2" = 2 (mod3) となるmについて考える。 [1] =n(nは自然数) とすると 1970 4" cn=122 などと答えてもよ L 22n-1=22(n-1).2=4”-1.2=1"-1.2=2 (mod3) [1],[2] より,m=2n-1 (nは自然数) のとき 2” が数列{cm} の項になるからコ Cn=bzn-1=22n-1 指針> 練習 数列{an},{bn}の一般項をan=15n-2, bn=7.27-1 とする。 数列{bn}の項のう (4) 100 ち,数列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{c,}を作るとき, 数列 {cn}の一般項を求めよ。 .631 02 解答 (1) 初 103- 各 ゆ よ す n G