Question

あなた

どこから15a+35b+21cが出てきたのですか？

考え方
解 1
例題234 整数の除法の利用
3で割ると余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る3桁の正の整
数のうち,最大のものを求めよ.
(その1) 題意を満たす数を書き並べて規則性を見つける.
3で割って2余る数 2,5,8,11,14,
5で割って3余る数 38 13,18,23,
となり,この両方を満たす数は, たとえば8である.
(その1)の考え方を数式で表してみる。
(その2)
(その3)
(その4)
不定方程式の考えを利用する. (p.401 例題 227 参照)
整数x, y, zを用いると
3で割って2余る数は, 3x+2
5で割って3余る数は,
5y+3
7で割って4余る数は, 7z +4 である.
おき方を工夫して, p.398で学習する合同式を利用する.
「3で割って余りが 2, かつ5で割って余りが3である数」
188 37
……①
を書き並べると,
0001>
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35,
38,
*100=1
......
4, 11, 18,25,32, 39,46,53,
となり,共通な数として1番目に出てくるのが53で, 以降,
105 ごとに出てくるので,これらの数は,
53+105k (k=0, 1, 2, 3, )
と表せる.
ここで,53+105k<1000 より,
947
k<-
-=9.01･･･
105
よって、求める数は,
3,8, 13,18, 23, 28, 33, 38,
となり、共通な数として1番目に出てくるのは8, 2番目に
23,3番目に38であり, 以降, 15ごとに現れる.
したがって, ① は, 「15 で割ると余りが8の数｣に一致する.
いま,この数に「7で割ると余りが4の数」 を書き並べると,公倍数
8, 23, 38, 53, 68, 83,
......
53+105・9=998
1 約数と倍数
***
8:58+18
(p.412 に続く)
それぞれ実際に書き
出してみる.
8,23,38,
15 15 15
15は3と5の最小
105は7と15の最
小公倍数
3桁の数だから
1000 より小さい。
411
整数の性質

解4 N=15α+ 356+21c (a,b,cは整数)という数を考える.
N=15a+356+21c=3×5Xq+5×7×6+3×7×c より,
N=356=26 (mod 3)
したがって, b=1 とすると, Nは3で割ると2余る数とな
る.
同様にして,N=21c=c (mod5) より, c=3 とすると,
Nは5で割ると3余る数となり,
N=15aa (mod7) より, α=4 とすれば,Nは7で割
ると4余る数となる.
よって,Nにおいて, α = 4, b=1, c=3 とすると
N = 15.4+35・1+21・3=60+35+63=158
このNが条件を満たす最小の数より 求める数は,
158+105k(kは0以上の整数)と表せ,
158+105k <1000 より
895
k< -=8.5......
105
よって, k=8のとき
158+105・8=998
この解は合同式の考
えを利用している.
(p.398 参照 )
最小が158 で あと
は105 (3
5と7
の最小公倍数) ごと
に現れる.
LIIT