Question

い

この問題の合同式を使った解法について質問なんですが、最初のNはなぜこのように置けるのでしょうか？

S
整数の性員
例題262
考え方
3で割ると2余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る3桁の正の整数
のうち、最大のものを求めよ.
不定方程式の応用 (1)
(その1) Nは整数x, y, z を用いて, N = 3x+2=5y+3=7z+4 と表せるの
3で割ると余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る整数をNとする。
y, zについての不定方程式ができる.
3で割ると2余る←
5 で割ると3余る
7で割ると4余る⇔
これらからNの規則性を見つける.
問題文の「3で割る,5で割る, 7で割る」から, N=15α+35万+
b,cは整数)という数を考え, 合同式 (p.440) を利用する。
(その2)
(その3)
N+1は3の倍数
N+2は5の倍数
N+3は7の倍数
答1 3で割ると2余り, 5で割ると3余り 7で割ると4余る
整数をNとおくと,
N=3x+2=5y+3=7z +4 (x,y,zは整数) とおける.
3x+2=5y+3 より, 3x-5y=1 .....①
.....1
①の解の1つは、x=2, y=1 であるから
3×2-5×1=1 ...... ②
0304
3(x-2)-5(y-1)=0
①-②より,
したがって, 3(x-2)=5(y-1)
り,x-2は5の倍数であり, kを整数とすると,
x-2=5k, すなわち, x=5k+2 ...... ③
3x+2=7z+4
3と5は互いに素よ
また,
③より, 3(5k+2)+2=7z+4, すなわち,
24
15k-7z=-4 ...... ・④
④の解の1つは,k=3, z=7 であるから,
15×3-7×7=-4 ...... ⑤
5
④ - ⑤ より, 15(k-3)-7(z-7)=0
ミ
まず不定
3x+2=
を考え
次に
|3x+
を考

3で割ると2余り,5で割ると3余り, 7で割ると4余
答 3 a,b,c を整数とする.
る整数を考えるから,
52=998
N=3×5×α+5×7×6+3×7×c ...... ①
つまり, N=15a+356+21c とおく.
N=356=26(mod3)
①より,
したがって, b=1 とすると,Nは3で割ると余る数と
なる.
同様にして, N=21cc (mod5) より, c=3 とすると,215×4+1
Nは5で割ると3余る数となる.
|
N=15aa (mod7) より, a =4 とすると, Nは7で割15=7×2+1
ると4余る数となる.
よって, a=4,b=1,c=3 とすると,
N =
15×4+35×1+21×3=60+35+63
= 158
この N=158 が条件を満たす数の1つであるから、求め
る数は,158+105k(kは整数)と表せる.
これが3桁の正の整数のとき, 158+105k <1000 より,
.842
k< = 8.01......
105
よって, これを満たす最大の整数は, k = 8 より 求める
整数は. 158+105×8=998
| 35=3×11+2
条件を満たす
105(35
最小公倍数) こ
現れる.
注> ある人の年齢を3,57で割ったときの余りをそれぞれ a,b,c とする.
n=70α+216+15㎝ としてnの値から105を次々と引いて, 105より小さい
きたら、その数がその人の年齢となる. この計算法を百五減算といい, 3,5,
た余りからもとの数を求める和算の1つである.
4で割ると余り 5で割ると4余り, 7で割ると3余る3桁の正の
2ち、最大のものを求めよ.

不定方程式 整数 合同式