Question

0210723

この問題の最後の部分について質問があります

赤四角の“ゆえに〜”の証明の仕方が数学的帰納法なのか自分では理解できません。
n≧４でも成り立つと思うのに、なぜn≧５の時に成り立つのですか？
それで証明できるのも不思議です。
また，nで場合分けしてるのは何故ですか

重要例題100 分数関数をn回合成した関数
2x-3
x-1
について,
......, fn(x)=f(fn-1(x)) [n≧3] とする
9
x=1,x=2のとき, 関数f(x)=
f(x)=f(f(x)), f(x)=f(fz(x)),
このとき, fz(x), f(x) を計算し, fn(x) [n≧2] を求めよ。
基本!
と順に求めて, その規則性をつかむ。
指針▷fn(x) を求めるには, fz(x), f(x),
この問題では, (fofk)(x)=x, つまり fk+1(x)=x [恒等関数] となるものが出てくるから,
fn(x) は x, f(x), fz(x), ...... f(x) の繰り返しとなる。 -
.....
なお, fz(x), f(x) ････ と順に求めた結果, fn(x) の式が具体的に予想できる場合は,
予想したものを数学的帰納法 (数学B) で証明する, という方針で進めるとよい (→下
の練習 100)。
......

£27
ƒ₂(x)=ƒ(ƒ(x)) = 2ƒ(x) −3
f(x)-1
2(2x-3)-3(x-1)
2x-3-(x-1)
ƒ3(x)=ƒ(ƒ₂(x))=
......
2.
ゆえに,fn(x)=fn-3(x)
すなわち
x-3
x-2
x-3
x-2
=
=
-1
を自然数とすると
n=3m & fn(x)=x;
-3
2･
2(x-3)-3(x-2) =x
x-3-(x-2)
ƒ4(x)=f(ƒ3(x))=ƒ(x),
ƒ5(x)=f(ƒ4(x))=ƒ(ƒ(x))=ƒ₂(x),
ƒ6(x)=f(ƒ5(x))=ƒ(ƒ2(x))=ƒ3(x),
2x-3
x-1
x-3
x-2
2x-3
x-1
≧5」が成り立つ。
n=2, Sm+2のときf(x)=
n=3m+1のとき f(x)=2x-3;
x-1
x-3
x-2
-1
3