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第2章 複素数と方程式
問 22 判別式
a,bを実数の定数とするとき,
r²+y²+ary+b(x+y)+1=0
について考える. 以下の問いに答えよ.
ら
の条件をa, b, y を用いて表せ.
(1) 実数yを固定したとき, xについての2次方程式 (*)が実数解をもつため
0=1+6+
(2) 2<a<2 とする. (*)をみたす実数x, y が存在するための条件をa,b
を用いて表せ。
....(*)
精講
(1) について式を整理します。
(*)は,実数係数の2次方程式ですか
実数解をもつ⇔ 判別式≧0
が成り立ちます.
(2) (1) 実数xが存在する条件をおさえてある
(岐阜大)
解法のプロセス
(1) 実数係数の2次方程式が実
数解をもつ
↓
(判別式) 20
(2) 2次関数f(y) のグラフが
上に凸であるとき,
ので、あとは実数y が存在する条件を求めます. f(y) ≧0 をみたす実数yが
存在する
(1) で得た不等式をyについての2次関数のグラフ
として考えるとよいでしょう. 条件 -2 <a<2
はこのグラフが上に凸であることを示しています。
解答
↓
f(y)=0 の (判別式) 20
(1)yは固定されている. (*)をxについて整理すると
x²+(ay+b)x+y²+by+1=0
判別式をDとおくと,(*)が実数解をもつための条件は, D≧0である.
D=(ay+b)^-4(y^+by+1)より
(a²-4)y²+2b(a−2)y+b²-4≥0 …..…..①
(2) 2<a<2のとき, 不等式 ① をみたす」 が存在するためのα b の条件を求
めればよい.
f(y)=(d²-4)y2+26(a-2)y+62-4 とおくと, -2<α < 2 であるから
d-4<0であり, f(y) のグラフは上に凸である。
したがって, f(y)≧0 をみたす実数y が存在するための
a,bの条件は f(y)=0 の (判別式)≧0である.
b²(a-2)²(a²-4) (b²-4)≥0
Susc
+ (a-2)(b²(a-2)-(a+2)(b²-4))20 (-+) (4
(a-2){-4b²+4(a+2)}≥0
A
