Question

ブットビ

数学Ⅱ （２）で（1）の答えを使わないとxが残ってabのみで条件を示せないのは分かるのですが（※）の判別式だけを考えるのは不十分なような気がして納得していきません　なぜ※式そのものではなく判別式だけで判断できるのでしょうか？

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第2章 複素数と方程式
問 22 判別式
a,bを実数の定数とするとき,
r²+y²+ary+b(x+y)+1=0
について考える. 以下の問いに答えよ.
ら
の条件をa, b, y を用いて表せ.
(1) 実数yを固定したとき, xについての2次方程式 (*)が実数解をもつため
0=1+6+
(2) 2<a<2 とする. (*)をみたす実数x, y が存在するための条件をa,b
を用いて表せ。
....(*)
精講
(1) について式を整理します。
(*)は,実数係数の2次方程式ですか
実数解をもつ⇔ 判別式≧0
が成り立ちます.
(2) (1) 実数xが存在する条件をおさえてある
(岐阜大)
解法のプロセス
(1) 実数係数の2次方程式が実
数解をもつ
↓
(判別式) 20
(2) 2次関数f(y) のグラフが
上に凸であるとき,
ので、あとは実数y が存在する条件を求めます. f(y) ≧0 をみたす実数yが
存在する
(1) で得た不等式をyについての2次関数のグラフ
として考えるとよいでしょう. 条件 -2 <a<2
はこのグラフが上に凸であることを示しています。
解答
↓
f(y)=0 の (判別式) 20
(1)yは固定されている. (*)をxについて整理すると
x²+(ay+b)x+y²+by+1=0
判別式をDとおくと,(*)が実数解をもつための条件は, D≧0である.
D=(ay+b)^-4(y^+by+1)より
(a²-4)y²+2b(a−2)y+b²-4≥0 …..…..①
(2) 2<a<2のとき, 不等式 ① をみたす」 が存在するためのα b の条件を求
めればよい.
f(y)=(d²-4)y2+26(a-2)y+62-4 とおくと, -2<α < 2 であるから
d-4<0であり, f(y) のグラフは上に凸である。
したがって, f(y)≧0 をみたす実数y が存在するための
a,bの条件は f(y)=0 の (判別式)≧0である.
b²(a-2)²(a²-4) (b²-4)≥0
Susc
+ (a-2)(b²(a-2)-(a+2)(b²-4))20 (-+) (4
(a-2){-4b²+4(a+2)}≥0
A

二変数関数 標準問題精講

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かき

xが実数解を持つための条件式が、(1)で求めた①式です。
次に①を満たすような実数yが存在する条件を考えます。
すべてのyで①式を満たすのではなく、①式を満たす実数yが一つでもあれば良いのです。
つまり、二次関数Y=f(y) が y軸と交点を持てば良い(⭐︎)ので、f(y)=0の判別式で考えます。
⭐︎この二次関数は、xとyの関数ではなく、Yとyの関数と考えてy軸との交点を考えてます(一般的なx,y関数ならx軸との交点です)。

ブットビ

問題を言い換えて　※を満たす実数xy が1組でも存在する　と考えたらよいということですか　そう考えたら納得行きました

かき

はい、その通りです。