EX
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n 行の自然数について, 数字1を奇数個含むものの個数をf(n) とする。ただし, nは自然数と
する。
(1)(2), S(3) を求めよ。
(2) S(n+1)=8S(n)+9·10"-! が成り立つことを示せ。
(1) まず,1桁の自然数で数字1を奇数個含むものは1だけであ
るから
2桁の自然数で数字1を奇数個含むものは,
1の後に0または2~9を付け加えて作られるものが
一試験)
f(1)=1
そ1口の口に0または2
9個
~9を入れると考える。
る。
2~9の後に1を付け加えて作られるものが
あるから
次に,3桁の自然数で数字1を奇数個含むものは, 次のように
して作ることができる。
[1] 2桁の自然数で1を奇数個含むものの後に, 0または2~
8個
そ2口,……, 9■ の口
f(2)=9+8=17
に1を入れると考える。
そ例えば,14口の口に
0または2~9を入れる。
9を付け加える。
[2] 2桁の自然数で1を偶数個含むものの後に,1を付け加え
そ1が0個のものも含む。
る。
そ10 から 99 までの
2桁の自然数は90 個あるから
f(3)=f(2)×9+ {90-f(2)}×1=8f(2)+90
=8·17+90=226
99-10+1=90 (個)
(2) n+1 桁の自然数で数字1を奇数個含むものは,次のように
して作ることができる。
[1] n桁の自然数で1を奇数個含むものの後に, 0または2~
または
9を付け加える。
12」 n桁の自然数で1を偶数個含むものの後に, 1を付け加え
る。
