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42
2円の交点を通る円
2x2+y^-2x+4y=0 ①, x2+y'+2x=1 ......②
がある. 次の問いに答えよ.
(1) ①,②は異なる2点で交わることを示せ.
(2) ①,②の交点を P, Q とするとき, 2点 P, Q と点 (1, 0) を通
る円の方程式を求めよ.
(3) 直線 PQ の方程式と弦 PQ の長さを求めよ.
これが (10) を通るので
-1+2k=0
よって, 求める円は
1
.. k=
x² + y² −2x+4y+ 12 (x² + y²+2x−1)=0
..
(x-1)+(u+1)=280
(3) ③において, x2,y2 の項が消えるので,
k=-1
: 4x-4y-1=0 ...... ④
次に,円 ② の中心 (-1, 0) と直線④との距離をdとおくと,
精講
(1)2円が異なる2点で交わる条件は
「半径の差 <中心間の距離 <半径の和」 です.
(数学ⅠA57)
(2)38 の考え方を用いると, 2点P, Q を通る円は
(x2+y²-2x+4y)+k(x2+y2+2x-1)=0
の形に表せます.
(3)2点P,Qを通る直線も(2)と同様に
(x2+y²-2x+4y)+k(x²+y'+2x-1)=0
と表せますが, 直線を表すためには,x', y' の項が消えなければならないの
で, k=-1 と決まります. また, 円の弦の長さを求めるときは, 2点間の距
離の公式ではなく, 点と直線の距離 (34) 三平方の定理を使います.
|-4-1| 5
d=
√42+42 4√2
図より (1/2PQ)=(√2-d
.. PQ²=4(2-25)-39
8
よって, PQ=
/78
4
円②
(-1,0)
1Q
√2
注 (3)において, k=-1 ということは,①-② を計算したことにな
ります。
ポイント
解 答
(1) ① より (x-1)+(y+2)²=5
∴. 中心 (1,2), 半径 √5
②より (x+1)+y^=2
∴. 中心 (1,0), 半径 √2
中心間の距離=√2+2=√8 <3=2+1 <√5+√2
また,√5-√2 <3-1=2<√8
.. 半径の差<中心間の距離 <半径の和
よって, ①,②は異なる2点で交わる.
(2) 2点P, Qを通る円は
(x2+y²-2x+4y)+k(x2+y2+2.x-1)=0 ......③
とおける.
演習問題 42
2つの円x+y'+ax+by+c=0 と
x2+y2+azx + by + cz = 0
が交点をもつとき
(x+y+ax+by+ci)+k(x+y+azx+bzy+cz)=0 は
k≠-1 のとき,2円の交点を通る円
k=-1 のとき,2円の交点を通る直線
2つの円x^2+y^2 と (x-1)+(y-1)²=4 は交点をもつこと
を示し, その交点を通る直線の方程式を求めよ.
