Question

ねむねむ

図形と方程式の問題です
(3)の色の着けたところがよく分かりません。点Pの1つが点Aであるのは何故ですか？解説読んでも分かりませんでした。

頂き
を
の
部
Y4 図形と方程式 (50点)
0を原点とする座標平面上に, 中心が点 (3, 1) でx軸に接する円Cがある。また、原
点からに引いた接線のうち,傾きが正であるものをとし,Cとlの接点をAとする。
(1) Cの方程式を求めよ。
(2) lの方程式を求めよ。
(3)は,中心がy軸上にあり,点AでCとlに接している。 Dの方程式を求めよ。ま
点PはD上の点であり, OP =3を満たしている。点Pの座標を求めよ。
配点 (1) 10点 (2) 18点 (3) 22点
解答
(1)
Cの中心が点 (31) であり, Cはx軸に接するから,Cの半径は, C
の中心のy座標に等しく, 1である。
x軸に接する円の半径は、円の
心のy座標の絶対値に等しい。
したがって, Cの方程式は (x-3)2+(v-1)2=1
圏 (x-3)2 +(x-1)²=1
(2)
解法の糸口
Cとl が接することを, 2次方程式が重解をもつ条件に読み替えて考える。
lは原点を通る傾きが正の直線であるから,その方程式は
y=mx(m>0)
と表される。
C と l が接するとき,これらの方程式からyを消去して得られるxの2次
方程式
(x-3)2+(mx-1)=1
は重解をもつ。
①を整理すると
(x2-6x+9)+(m2x2-2mx+1)=1
(m²+1)x2-2(m+3)x+9=0
①'の判別式をDとすると2=0であり
D
121=(m+3)2-9(m2+1)= 0
-8m²+6m=0
-2m (4m-3)=0
3
m = 0.
4
3
m>0より
m =
4
したがって、lの方程式は y=
[(2)の別解〕
(3行目まで本解と同じ)
3-4
3
y=x
NA
A
ROS
C
EL
10
3
x
◆円と直線の方程式からyを消去し
て得られるxの2次方程式を
ax2+bx+c=0
とし、その判別式をDとすると,
D=62-4ac であり
円と直線が接する
← 2次方程式が重解をもつ
⇔D=0
D
また,b=26' のとき 1241=b2-ac

また、原
とする。
y=mx より mx-y=0
よ。 ま
よって
|3m-1|
√√m²+1
=1
|3m-1|=√m²+1
両辺とも0以上であるから, 両辺を2乗して
Clは接するから,Cの中心 (31) との距離はCの半径1に等しい。
Cの半径を 円Cの中心と直
線の距離をd とすると
+7
C と l が接するd=r
点と直線の距離
79
(3m-1)2=m²+1
点(x1,y) 直線 ax+by+c=0
の距離をd とすると
半径は、円の
に等しい。
9m²-6m+1=m²+1
8m²-6m=0
2m(4m-3)=0
3
m= 0.
4
3
m0 より m=
よって, l の方程式はy=
(3)
解法の糸口
d=ax+by+cl
a2+62
まずは、条件に適する図をかいて状況を把握しよう。 条件から、2つの円C,Dは点Aで外接している。 したがっ
て、円Dの中心は,点Aを通りℓに垂直な直線, すなわち, Cの中心を通りに垂直な直線上にある。このことか
らDの方程式を求める。 後半は, OP = 3 から、点Pは原点Oを中心とする半径3の円と円Dの共有点であるこ
とがわかる。 その座標は、図形の特徴に着目して求められるが, 連立方程式を解いて求めることもできる。
VA
F
D
B:
X
-x+5
UODEL
6mt
問題文で与えられた条件より, Dは点AでClに接するから,Cの中
心をE, Dの中心をFとすると, 3点E, A, Fはこの順に同一直線上に
あり EF⊥lである。
(2)より,lの傾きは 2 であるから, 直線 EF は, 点E (3,1) を通り,傾き
未消去し
A
と、
が一
4 の直線であり、その方程式は
つ
y-1=-
=-1/(x-3)
すなわち
OC
2つの円が外接するとき、 2つの
円の中心および接点の3点は,同一
直線上にある。
円の接線は接点を通る半径に垂直
である。
2直線l1, l2の傾きがそれぞれ
mm2 であるとき
l⊥l2
mm2=-1
y=-2x+5
条件より, Dの中心Fはy軸上の点であるから F(0,5)
また
51-

EF=√(0-3)+(5-1)=5
であるから,Dの半径は、線分 EF の長さからCの半径を引いた値であり
5-1=4
以上より, Dの方程式は
x2+(y-5)=16
2点間の距離
2点(x1,yi), (x2,y2)の
離は
√(x2-x1)2+(y2-y)
次に, OP = 3 を満たす点Pは,原点Oを中心とする半径3の円の周上に
あるから,この円をKとすると、点Pは、2つの円DKの2つの共有点で
ある。
ここで, B3,0) とすると, OA = OB=3より 2点A,Bはいずれも
K上の点である。
よって、点Pの1つは,点Aである。
点Aは線分 EF を 1:4 に内分する点であり,その座標は
/4・3+1・0
1+4
4・1+1.5) すなわち (113)
12 9
また,D, Kはいずれも軸に関して対称であるから, OP =3 を満たす
D上の点もy軸に関して対称である。
円の外部から円に引いた。
線の接点までの長さは等しい
<3点E, A,Fがこの順
線上にあり、線分の長さの」
EA : AF が半径の比である
用いた。
したがって, OP = 3 を満たすもう1つの点Pの座標は(-1/3/2/3)
5
以上より,点Pの座標は,(-1/2, 2013)(1/2/2/3)である。
5
Dの方程式 x2+(y-5)2=16
点Pの座標(-1/2)(1/3)
9 AR
自分の解答を振り返るう