同じ文字の置き換えの問題です チャートの方は最後xの値まで求めていますが 文系の数学の方は最小値のみです xの値を求めるか求めないかの違い、見極め方を教えてください

10 置きかえの利用 MXFORES x が実数全体を変化するとき 関数y=(x2-2x)2 +4 (x2-2x) の最小値 を求めよ. (北海道工業大) [解答] y=(x2-2x)2+4(x2-2x) x2-2x=t とおくと、①より y=t² +4t =(t+2)2-4 ここで,t=x2-2xより, ...2 t=(x-1)2-1 となるから、 xが実数全体を変化するとき, tの範囲は t≧-1 である. t≧-1 において② のグラフは右のようになるから, t=-1のときにy は最小となり, 最小値は, (-1)²+4(-1)=-3 文系 数学の必勝ポイント・ JURN 0 FX 1 -2-1 t=x2xのとき t≧-1である ことがグラフから分かる 2次関数 t=x2-2x yy=(t+2)²-4 置きかえの注意 置きかえをしたら, 新しい文字のとり得る範囲を確認する 0 -3 -4 解説講義 関数を扱うときに,置きかえはよく行われる操作である. 本間は置きかえをするときの注 意事項を確認する問題である. ②のグラフの頂点に注目して 「最小値は-4」 と間違えた人 はいないだろうか? HANDS yはxを変数として①の式で定められている. ①をそのまま扱おうとすると4次関数になっ てしまうので, x2-2xが2ヶ所にあることに注目し, x2-2x=t と置きかえてyをtの2次関 9 で勉強したように、 関数の最大最小 数として扱う.しかし, ここに落とし穴がある! は 「正しい範囲で正しい関数を分析」 しなければならない.tの2次関数として扱うのであ れば、「正しいもの範囲』で②の関数を分析する必要がある. 問題文にはすべての実数をとっ て変化すると書いてあるが,tのとり得る範囲は書かれていない. したがって, t=(x-1)²-1 と変形してものとり得る範囲が≧-1 であることを求めて, この範囲で ② の関数の最小値を 求めなければならない. 式を見やすくしたりするために安易に置きかえを行うと痛い目にあう. 「置きかえをした ら、新しい文字のとり得る範囲を確認する」ということをつねに注意するようにしよう. -t 19

⑵です。場合分けをしていますがアの2はどうやって出てくるのでしょうか？解説お願いします🙇‍♀️

Ⅱ微分・積分 系 f(x) = 12/2 > 0² ●最小はココ word (ア(イ)より,x>1 における f(x) の増減表は次のようになる. If'(x) f(x) ... の必勝ポイント これは最小にならない これ √10 2 20 最小 + 7 2 √10 増減表より, f(x) を最小にするxの値は,x=- 2 4170だからね 解説講義 絶対値をつけたまま積分することはできない. 絶対値を扱うときの基本は 「絶対値の中身 の正負に注目して絶対値を外すこと」である.x-1≧0 やx-1<0 を解いて,解答の①を 求めてもよいが,y=|x-1|のグラフを考えてみると様子がつかみやすい.y=f(x) | のグ ラフは,y=f(x)のグラフのx軸の下側にはみ出した部分を上に折り返すだけであり、数秒で 描くことができる.(絶対値がついているので,負になる部分を正に変えればよいからである) (2)はグラフを使った考察を行わないと苦しい. + y=|p-xt|=|t(t-x) | は, y=-xt と y=-t+xtのグラフから構成されていて、 “グラ コが切り替わるところ” は t=0 と t = x である.そこで,積分区間の1から2の間にt=x が まれる場合と、含まれない場合に分けて考えることになる. (ア), (イ)の2通りに分けて f(x) 準備したら、1<x<2では(ア)の関数を, 2≦x では (イ)の関数を使い, 増減表を作ってf(x) の する様子を捉えればよい. 絶対値を含む関数の積分 ① 絶対値を外して、 範囲に応じて関数を使い分 便利 ! ) (+) フが

質問です ⑶の問題が解説見てもよく分からないので分かる方解説お願いします！

2次関数, 三角関数 指数, 対数を中心にして 本 32 三角方程式の解の個数 f(0)=2sin20+4sin0+3cos 20 (0≦<2π) について,次の問に答えよ. (1) x=0 とするとき, f(0) をxの式で表せ. (2) f(0) の最大値､最小値を求めよ.また, そのときの日の値をすべて求めよ。 (3)方程式 f(0)=α の相異なる解が4個であるような実数α の範囲を求め (岩手) (解答) (1) . TOSSERRAOLI f(0)=2sin20+4sin0+3cos 20もさ =2sin²0+4sin 0+3(1-2sin²0) ) (SD)=7 (1 30,5 (3) =-4sin20+4sin0+3 x = sin0 とすると, f(0)=-4x2+4x+3 (2) g(x)=-4x2+4x+3とすると, \2 96x)=-4(x - 2)² +4 ...1 x=sin0 (0≦02m) より, -1≦x≦1 である. f(0) の最大値、最小値は, -1≦x≦1における g(x) の最大値、最小値を求めればよい. 1≦x≦1において①のグラフは図のようになる. sin0=-1より, 0=- (3)との対応関係を考える. -1<x<1ならば2つの 3 2π 以上より, 最大値40=4- A x=sin0 (002m) であるから、 1つのxの値に対して、 x=1 グラフより,g(x)はx=- )はx=1/12の 一のときに最大値4をとり、そのときのは, sin0 = 1/28より,0=17/08 5 また,g(x)はx=-1のときに最小値-5をとり,そのときの0は, x=-1 ならば1つの (6 BOJ==) 1000 (0 = 1/2) のとき、最小値-50=- ならば1つの00= Isti 0 0 (0 = 3/1 7 S+IVE 1 x 0 -1 π 0₁7/2 4 3. 011 2 y=-4x2+4x+3 (0-012/2のとき) -5 0₂ T ***ATSOTS @ 48 * * X * 2π x = sin0 -y=a -1<x<1である1つのxに対して, 2010 の2つの0が存在する 0 が対 よ を求 を考 <補 f 解 まのがるるといとい x まで の相 がら x か

数列です。計算したのですがbnで解答と変わってしまいました、どうしてもどこで間違えたか見つけられなくて、、どこで間違ったか教えてもらいたいです、 お願いします🤲🏻🙇‍♀️

8 ■る. (大) んですか 2項間漸化式 (4) 整式型~ 1=6, an+1=3an-6n+3(n=1, 2, 3, ...) で定められる数列 an | がある . (1) an+1-an=6m とするとき, bn+1 を bn を用いて表せ. (2) 数列{an}の一般項を求めよ. 149 ai 解答 (1)与えられた漸化式から, an+2=3an+1-6(n+1)+3 an+1=3an-6n+3 (2) まず,数列{bn}の一般項を求める. 数列{bn}の初項 by は, ①-②から, an+2an+1=3(an+1-an) - 6 ここで, an-1-am=b, とすると,左辺の an+2an+1=bn+1 であり,③から, bn+1=3b₂-6 b1=a2a1=(3a1-6・1+3) -a α2 は②n=1 にすればよい =2a1-3=2・6-3=9 bn+1=36-6を変形すると, よって, α=3α-6より α = 3 になるから, bn+1-3=3(bn-3) [+b+1=3bm - 6 これより,数列{bm-3}は公比3の等比数列であり,-) 3=3･3 - 6 (0) GLED). bn+1-3=306-3) 初項 b1-3=9-3=6 b-3=6.3”-1=2.3" = であるから、④より, an+1-am=2・3"+3 さらに, 左辺に②を用いて an+1 を消去すると, (3an-6n+3) -an=2.3"+3 2an=2.3"+6n nをn+1に取りかえた HOSHASHI+ . .bm=2・3"+3 ･･･④ 文系 数学の必勝ポイント・ BA ∴. an=3"+3n (東洋大) [解説講義 an+1=pan+f(n)(f(n)はnの1次式が多い)の形の漸化式は,文系の入試では,本問のよう な誘導がつけられることが一般的で、誘導に従って考えていくと「基本形の漸化式」に帰着 されることが多い 「n を n +1に変えた漸化式 an+2=pan+1+ f(n+1) を作って,与えられた 漸化式との差 (解答の①-②)を考えて,置きかえる」という解法の特徴を理解しておこう. an+1=pan+f(n) の形の漸化式 nan+1に変えた式を作って, その差を考える 185

このままの形じゃ必勝ポイントに書いてあるやり方でできないのですか？ 理由を教えてください。

よって, Cとlの共有点のx座標は t-tであり, 4 -3 ²³²) x + 2 1² – ( - - x - x ³ ) } dx 5=₂ {(3-31²) 3t x3-3t2x+2t3=0 (x-t)²(x+2t)=0 = (x³-31²³x+21³) dx =f(x−1)²(x+2t)dx = (x−1)² {(x−t) + 3t|dx =S' }(x−t)³+3t(x−t) ² } dx = [1/(x-1)+¹+1(x-1 3 t= =0- √10 3 -{(-3t) ¹+1(-3t) ³) = 81 r¹+27 r = 27, == 4 であるから, -2t 文系 数学の必勝ポイント 27 S= . 4 √10 3 微分法, 積分法を中心にして 25 3 曲線とその接線で囲まれる図形の面積 -2t (x-t)^2があるので,それを生かして, (x-t) や(x-t)^ を作って, 「カッコn乗の積分」を行うことを考える. そのために,まずx+2tからxt を作っておき, x+2t=(x-t)+3t と “微調整” をする 「カッコ乗の積分」を行う 1 y Ot 解説講義 55 と同様に、曲線 ( 3次関数) とその接線で囲まれる図形の面積が問われているので, -(x+b)n+1+C (nは自然数, C は積分定数) 1 [(x+b) ³dx= n+1 を使って計算するとよい。 ただし, これを使うためには、解答のように少しテクニカルな変 形が必要になるので、変形のコツを身につけておきたいこのテクニカルな変形を使うと, 「6分の1公式」も、次のように簡潔に示すことができる . ∫(x-αr)(x-B)dx = [(x-a)²-(3-α) - (x-a² = f(xーα)(x-α)-(B-α)\dx =(8-α)³-(8-a)³ =f₁1(x-a)²-(ß-α)(x-a)¹} dx =-— (B-a)² (x-a)" (x-β)=(xーα)"{(x-α)-(B-α)} の要領で変形して, カッコn乗の積分が使える形にする =(x-α)" +1-(β-α)(x-α)"

ユークリッドの互除法を使います。 (2)です。 なせaの最大公約数と最大公約数は一緒なのでしょうか？？？ちょっと書き込んでみたんですがよくわからないです💧 あとなぜn+3は2の倍数ではないのでしょうか？ 解説お願いします！！🙇‍♀️💦💦

54 ユークリッドの互除法 (1)95)と254) の最大公約数を求めよ.数が大きすぎますね (2) 2つの整数2n+30と+3の最大公約数が3となるような30以下の 自然数n をすべて求めよ. 解答〕 (1957 を 754 で割ると商が1で余りが 203 になる.次に, 754を203で割る.これ を続けると、 957-7541+203 754-203・3+145 203=145・1 + 58 145=58・2+29 58=29・2+0 よって, aとbの最大公約数をged (a, b) と表すと, gcd(957,754)=gcd(754,203) = gcd(203,145)= gcd(145,58)=gcd(58,29)=29 が成り立つから,957 と 754 の最大公約数は 58 と29の最大公約数と等しく, 29 これらの計算は、次のような筆算を使うと便利である 2 2 1 3 1 29) 58 145 203) 754) 957 145 609 754 58 116 0 29 58 145 203 (2) 2n+30 を n +3で割ると,商が2で余りが 24 となる. つまり, 2n+30=(n+3) ・2+24 が成り立っていて, ユークリッドの互除法より, gcd(2n+30,n+3)= gcd(n+3,24) である. よって, 条件から, 文系 数学の必勝ポイント gcd(n+3,24)=3 であるが,24=233 に注意すると, ① が成り立つ条件は, +3が3の倍数であり,かつ, 2の倍数でないこと である. 1≦n≦30より, 4≦n+3≦33であるから, ② を満たす整数 n +3は, n+3=9, 15, 21,27,33 n=6,12,18,24,30 解説講義 2つの正の整数a,b (a>b) に対して, a を6で割った余りを (0) とする. このとき, ( α ともの最大公約数) = (bとrの最大公約数) となる.このことを繰り返し用いることによって最大公約数を求めることをユークリッドの 互除法という. 最大公約数の求め方 (a>b>0とする) ・割と周の最大公約数 =宮園と金の最大数 αを6で割った余りをr(>0) とすると, 割れる数に割る数の十 1 (αとbの最大公約数) = (bとrの最大公約数) 7 良い 73

この問題なんですけど、これの答えに「1/2≦x<2のときx=1、x<1/2のときx=1/3 」のように範囲まで書かない方がいいですか？

6 2つの絶対値を含む式 方程式 | 2x-1|+|x-2|=2を解け. 解答 |2x-1|+|x-2|=2 (i) x≧2のとき,①より, (2x-1)+(x-2)=2 5 x= 3 (i) 1/2x<2のとき、①より, (2x-1)(x-2)=2 これはx≧2を満たさないので不適 CHLUAI (m) x<1/2のとき、①より、 4-5 / 38 x=1 (これは 1/2 -≦x<2を満たす) -(2x-1)-(x-2)=2 ...1 x = 1/12 (これは x</1/28 を満たす) (i),(ii),()より, 方程式①の解は, x=1, 文系 数学の必勝ポイント・ One Point コラム ちゃんと計算する 3 なる. と処理することができる. THORENS 2x-1≧0となるxの範囲は,x≧1/2 x-2≧0となるxの範囲は, x≧2. これらを数直線上に表すと,次のように 1- 2 2 (注) 12x<2のとき, 上の数直線から, 絶対値の中身について, (i) x≧2 のとき, 両方とも0以上 と分かる (関西大) 2x-1は0以上だが,x-2は負 x<1/2のとき,両方とも負 解説講義 本間は絶対値が2つあるので、 両方とも中身が正, 片方だけ中身が正, 両方とも中身が負と いう3つの場合が起こる. 頭の中で考えていると混乱してしまうので,表や数直線などを使っ て状況を整理するとよい . 2つ以上の絶対値の取り扱い 中身が正になる範囲を数直線上に描いて状況を整理するとよい 絶対値は中身の正負で場合分けを行うことが基本であるが, →x |x|=c. |X| <c. | X>c (ただし,cは正の定数) という形のものは、 (ピッタリとこの形になっているかを確認しよう) |X| = c ⇔ X=±c |X| <c ⇔ |X|>c→ X<-c, c<X -c <X<c 03>$3

数学IIIです。置換積分のθの範囲は自分で好きなように定義していいのでしょうか？理由がしりたいです。 お願いします💦

66 x = asin0, x=atan0 とおく置換積分 次の定積分を求めよ. 1 - dx √4-x² 2 (1) S² So 解答 (1) x=2sind(s)とすると、 dx do であるから, 1 So 4-x (1) =2costより, dx=2cosedo 2 dx = T || 6 TL S-- (2) ²√4x² dx π = 5.6. π = 6² 1 4-4 sin²0 √4 cos²0 1 |2cos 1 2 cos 0 2 2 cos 0 de ･・ 2 cos e de ･・2 cos do π = £³1 do = [0]* - * * = 6 1 -1 x2 +3 (明治大/関西学院大/福島大) (3) S xC 0 0 0 dx IS π 6 x=0のとき, sin0=0 なので, 0=0 UMA ・cos do 一般に,AAである | x=1のとき、 ( sin 0 = =1/2なので、O=7 6 〇)(T) 積分区間の≧0≦に においてつねに 2 cos0 なので,|2cos0=2cos0 として絶対値を外してよい

4－aが駄目なのは何なぜですか？

と PRの真ん中がA 79 線対称 を原点とする座標平面上に 2点A(1, 2), P(43) がある. 意に関して、 P と対称な点 R の座標を求めよ. 直線OAに関して Pと対称な点Qの座標を求めよ. (287) 解答 (3) Rimm) とすると、点が線分PR の中点になるから( 4+1, 3+=2 となる。これを解くと, m=2,n=1となるから R(-2, 1) (2) 直線OA の式はy=2x である. Q(a, b) とする. 分PQの中点 (4+a3+b) 2 3+b 4+a 2 また、直線PQの傾きは b-3 a-4 342 がy=2x上にあるから、 の必勝ポイントー b-3 a-4 -×2= (6-3)-2=-(a-4) a+2b=10 ①,②を解くと, a=0, b=5となるから, Q(0, 5) R ….① Q+ (北海道工業大 2直線が垂直になるのは、 0 0 ..-2a+b=5 であるが､直線PQ と y=2xは直交するから # A(1,2) 傾きの積が1のときである 解説講義 (1)のようなPとRの関係を点対称。 (2)のようなPとQの関係を線対称という。 点対称はとても易しい。 線分PRの中点がAになっていることに注目するだけである 線対称は点対称に比べると複雑であるが,これも決して難しい話 はない。 「2点P、Qが直線について対称」とは 「直線で折り げるとPとQが重なる」ということである.したがって (i) 線分PQの中点が上にある (Ⅱ) (直線PQ) 1 う2つのことに注目して式を立てて考えればよい。

2番の解答の両端の女子の決め方が6通りってどういうことですか

司合出 文系の 重要事項 尾豊孝 文系の 実戦力向 尾豊孝 大学入 数学問 河合塾数学 ● 新年度版 (2) 52 A 場合の数・確率 34 順列(両端指定・隣り合う ・隣り合わない) 男子5人、女子3人の8人を横一列に並べるとき、 (1) 並べ方は全部で何通りか. (2) 両端が女子となる並べ方は何通りか. (3) 女子3人が隣り合う並べ方は何通りか. (4) 女子どうしが互いに隣り合わない並べ方は何通りか. 解答 (1) 8人を横一列に並べる並べ方を考えて, 8!=8･7･6･5・4･3・2・1=40320 (通り) 135 円順 6人が円) (2) まず, 両端の女子の決め方が, 3･26通りある . 次に,両端を除く残りの6人の並べ方は,6!=720通りある.したがって 6×720=4320 (通り) 文系 数学の必勝ポイント・ 男, 男 まず男, (1) 座り方 P8であるが、これは8! (80) と書くことが多い 解答 (1) 図のよう 残りの (2) A君と (3) まず,女子3人を「かたまり」にして、男子5人と 1つのかたまりを横一列に並べる並べ方は, 6!=6・5・4・3・2・1=720 通り 次に、女子3人についての並べかえが3!=6通り ある.したがって, 720×6=4320 (通り) (4) まず, 男子5人を横一列に並べると, 5! = 120通りある. ①まず男子5人を 次に,両端と男子どうしのすき間の6ヶ所のうちの3ヶ所 に女子3人を並べると, 並べ方は, 6・5・4=120通りある. したがって, 120×120=14400 (通り) 女ー女ー女を並べる (2) (1)と同 B君の まず両端を並べてから、残りの部分を並べる で扱う 隣り合うものは「ひとかたまり」 女ー女ー女の女子どうし の並べかえ 男 男 男 男 男 ② この中の3ヶ所に A君, 解説講義 いろいろな順列 ① 両端指定 ②隣り合う ③隣り合わない すき間埋め込み処理(制限のないものを先に並べ した 解説講義 させ (4) に注意しよう.(3)で女子3人が隣り合う並び方を4320通りと求めているが,これも 全体の40320 通りから引いても(4) の正解にはならない。 (3)の4320通りを全体から引くと 転さー 「3人が隣り合っていない場合」は除くことができているが, 「2人が隣り合っている場合 を除ききれていない。隣り合わない並べ方を求めるときには、隣り合うものを引くのではなDを一 く,上の解答のように“すき間に並べていく”方針が安全である。 すき間や端に1人ずつ並 3つ べていけば, 女子どうしが互いに隣り合うことは起こりえない. bo ておき、隣り合ってはいけないものをすき間や端 に並べていく) いぐ すのが るとア のよう 式 理