Question

ぱそこん

同じ文字の置き換えの問題です
チャートの方は最後xの値まで求めていますが
文系の数学の方は最小値のみです
xの値を求めるか求めないかの違い、見極め方を教えてください

10 置きかえの利用
MXFORES
x が実数全体を変化するとき 関数y=(x2-2x)2 +4 (x2-2x) の最小値
を求めよ.
(北海道工業大)
[解答]
y=(x2-2x)2+4(x2-2x)
x2-2x=t とおくと、①より
y=t² +4t
=(t+2)2-4
ここで,t=x2-2xより,
...2
t=(x-1)2-1
となるから、 xが実数全体を変化するとき, tの範囲は
t≧-1
である.
t≧-1 において② のグラフは右のようになるから,
t=-1のときにy は最小となり, 最小値は,
(-1)²+4(-1)=-3
文系
数学の必勝ポイント・
JURN
0
FX
1
-2-1
t=x2xのとき t≧-1である
ことがグラフから分かる
2次関数
t=x2-2x
yy=(t+2)²-4
置きかえの注意
置きかえをしたら, 新しい文字のとり得る範囲を確認する
0
-3
-4
解説講義
関数を扱うときに,置きかえはよく行われる操作である. 本間は置きかえをするときの注
意事項を確認する問題である. ②のグラフの頂点に注目して 「最小値は-4」 と間違えた人
はいないだろうか?
HANDS
yはxを変数として①の式で定められている. ①をそのまま扱おうとすると4次関数になっ
てしまうので, x2-2xが2ヶ所にあることに注目し, x2-2x=t と置きかえてyをtの2次関
9 で勉強したように、 関数の最大最小
数として扱う.しかし, ここに落とし穴がある!
は 「正しい範囲で正しい関数を分析」 しなければならない.tの2次関数として扱うのであ
れば、「正しいもの範囲』で②の関数を分析する必要がある. 問題文にはすべての実数をとっ
て変化すると書いてあるが,tのとり得る範囲は書かれていない. したがって, t=(x-1)²-1
と変形してものとり得る範囲が≧-1 であることを求めて, この範囲で ② の関数の最小値を
求めなければならない.
式を見やすくしたりするために安易に置きかえを行うと痛い目にあう. 「置きかえをした
ら、新しい文字のとり得る範囲を確認する」ということをつねに注意するようにしよう.
-t
19

126
4 次関数の最大 最小 吸
要 例題 74
1≦x≦5のとき、xの関数 y=(x²-6x)2+12(x²-6x)+30 の最大値、最小
6 基本60
値を求めよ。
CHART & SOLUTION
4次式の扱い
共通な式はまとめておき換え 変域にも注意
p.30 の4次式の因数分解で学習したように, x2-6xが2度出てくるから、
x²-6x=t とおくと y=t2+12t+30 と表され,t の2次関数の最大最小問題として考え
ることができる。
ここで注意すべき点は, tの変域は,xの変域 1≦x≦5 とは異なるということである。
1≦x≦5 における x2-6x の値域がtの変域になる。
牛 Ō
x2-6x=t とおくと
t=(x-3)2-9 (1≦x≦5)
xの関数のグラフは図[1] の実
線部分で、tの変域は
-9≤t≤-5
yをtの式で表すと
y=t+12t+30=(t+6)²-6
① における tの関数yのグラフ
は図 [2] の実線部分である。
① において, y は
①
t=-9 で最大値3
t=-6 で最小値-6 をとる。
t=-9 のとき
図 [1] から x=3
t=-6 のとき
すなわち
x2-6x+6=0
これを解いて x=3±√3 .... (3)
②,③は 1≦x≦5 を満たす。
以上から
x2-6x=-6
[1]
-5
[2],
1 3 5/
1/
I I
い
il I
最大
-6-5
最小
1/
3
x
0 t
-5
-6
[1] グラフは下に凸で、 軸
x=3は定義域1≦x≦5
の中央にあるからtは
x = 1,5で最大値 - 5
で最小値 - 9
x=3
をとる。
[2] グラフは下に凸で, 軸
t=-6は定義域
-9≦t≦-5 右寄りに
あるから,yは
t=-9 で最大値
t=-6 で最小値
をとる。
inf. 関数は xの式で与え
られているから、最大値・
最小値をとる変数の値もx
x=3で最大値3, x=3±√3 で最小値-6 をとる。 で答える。
P RACTICE 74
(1) 関数 y=x^-8x2+1 の最大値、最小値を求めよ。
(2) -1≦x≦3 のとき, 関数 y=(x2-2x) (6-x2+2x) の最大値、最小値を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

ぱそこん様
「xの値を求めるか求めないかの違い」ですが、
「求められるならば、極力求めた方が良い」と思います。
なぜなら、xの値を求めれば、定義域をみたしているのかどうか確認できます。
また、どのxの値で最大・最小になるかは、関数の分析で重要なポイントです。

ぱそこん

ではなるべく求めるようにします！