練習
③ 39
a₁ =
2
nan+1=(n+2)an+1によって定められる数列{a}がある。
(1) an=n(n+1)0 とおくとき, bn+1をbnとnの式で表せ。
(2) annの式で表せ。
(1) an=n(n+1)b をnan+1=(n+2)an+1 に代入して
n•(n+1)(n+2)bn+1=(n+2)•n(n+1)bn+1
両辺を n(n+1) (n+2) で割ると
bn+1=6n+
n(n+1)(n+2)
1
(2)(1) から
bn+1-bn=
n(n+1)(n+2)
bn+1-bn=cn とおくと
=/12/1m(n+1)-(+1+2)}
(n+1) (n+2)}
2ln(n+1) (n+1)(n+2)
1
Cn=
ここで
b1= =
1.2
11
1
a1
==
22 4
←部分分数に分解して、
差の形を作る。
1
(n+2)-n
2n(n+1)(n+2)
an
←bn=
n(n+1)
よって≧2のとき
n-1
bn=b₁+Σck
k=1
+
+......
=
36
4
1・2
2.3.
3.4,
+1)
(n-1)
1/21/12-(n+1)
+
1
①
←途中が消えて、最初と
最後だけが残る。
=
n=1のとき
2
2n(n+1)
1
1
1
=
2 2.1.2 4
b=1/4であるから,①はn=1のときも成り立つ。
よって
a,=n(n+1)bm=n(n+1){12-27 (n+1)}
初項は特別扱い
n²+n-1
=
2
n(n+1) 1
←
2
2
