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基本 例題 91
(1)すべての大数について、不等式が成り立つように
定数αの値の範囲を定めよ。
(2) すべての実数xに対して, 不等式 kx2+(k+1)x+k≧0 が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
③ p. 146 基本事項
不等式が常に成り立つ条件 (絶対不等式)
0000
ズーム
[東京電機
CHART & SOLUTION
定符号の2次式
常に ax2+bx+c>0⇔a>0, D <0
常に ax2+bx+c≦0⇔a<0, D≦0
(1)の係数は10D <0 であるαの条件を求める。
nomujo22
2次
不
2次
(2)単に「不等式」とあるから,k=0 の場合(2次不等式でない場合)も考えることに注意
k0 の場合 < 0 かつ D≦0 であるkの条件を求める。
解答
(1)x2ax+2a=0 の判別式をDとする。
2次
2+
ax
D
x=
の係数は正であるから,常に不等式が成り立つ条件は
D<0
下に凸の放物線が
x軸より上側にある
ここで D=(-a)2-4・1・2a=a-8a=a(a-8)
D<0 から, 求めるαの値の範囲は
0<a<8 &
止めの条件と同じ(p.1
基本事項2参照)。
(1)
(2) kx2+(k+1)x+k≦0 ① とする。
の
[1] k=0 のとき, ① は x≤0
下に凸
D<0
これはすべての実数xに対しては成り立たない。
[2] k0 のとき 2次方程式 kx2+(k+1)x+k=0 の判
別式をDとすると, すべての実数xに対して, ①が成
り立つための条件は ん < 0 かつ D≦0
ここで
D=(k+1)2-4•k k=-3k2+2k+1
=-(3k+1) (k-1)
(2) [2] 上に凸の放物権
x軸と共有点をも
い,または,x軸と接
D≦0 から
(3k+1)(k-1)≥0
よって
k≤-
1≦k
3
<0との共通範囲をとると
以上から、求めるんの値の範囲は
k≤-
PRACTICE 912
るる条件と同じ。
条件と同じ
[2]
上に凸
D≤0
C
