Question

みみ

図2のx=a,bの時のｙ座標はどの様に求めればよいのでしょうか？また、図2が図3に変形できるとなぜわかったのか教えて頂きたいです。

例 0<a<bのとき
2(b-a)
a+b
< log b - log a <
(b-a)(a+b)
2ab
を示せ.
《 解答》 log bloga
=
L² =
1
dx=(図1の斜線部の面積)
J
2(b-a)
a+b
(b-a)(a+b)
2ab
=
=
(b-a). 2 ADE
a+b
(図3の斜線部の面積)=(図2の斜線部の面積)
=1/2(1/2+/1/1) (b-a)
+1) (b-4)=(図4の斜線部の面積)
a
fla)
図1
図2
YA
YA
f(c)(B-a) 90
+1
図3
3CE YA
図 4
O
a
b
図3
りま図2
2
a+b
2
ath
x0a+bax
2
1-0
a+b
1
O
a
bx0
a
bx
2
図 1
図 4
y=1/(x>0)のグラフは下に凸だから上図のようになり、与えられた不
等式は証明された.
すなわちは!
ていなければ

Answer 1

あ

図2から図3に変形するときに、x=a,bのy座標を出す必要は特にありません。(出しても問題はないが時間がかかる)
aと(a+b)/2との距離は(a-b)/2であり、(a+b)/2とbとの距離も(a-b)/2なのでこれらの゙距離は一致する。
接線は一次方程式なので、xが等間隔だけズレるとyも等間隔だけズレるため図2における2つの三角形は横の長さ・縦の長さが共に等しくなるから、図2から図3への変形が起きる。

x=a,bのときのy座標の求め方。
y=1/xよりy'=log|x|なのでx=(a+b)/2におけるy=1/xの接線の方程式はy-{2/(a+b)}=log|(a+b)/2|{x-(a+b)/2}となる。
これとx=aの交点とx=bの交点の座標を考えれば良い。