この問題の下線のところがよく分かりません… n+1とnの最大公約数かnと1の最大公約数であるという説明が理解できません💦なぜそうなるのですか？同様に(2)も分からないので教えてほしいです！！

449 指針 2数の最大公約数が1であることを示せばよい。 まず、2つの式の関係を a=bg+rの形に表す。 (1) n+1=n ・1+1 よって, n+1とnの最大公約数は, nと1の最 大公約数であるからである したがって, n と n+1は互いに素である。 (2) n2+n+1=(n+1).n+1 よって, n2+n+1とn+1の最大公約数は, n+1と1の最大公約数であるから1である。 したがって, n2+n+1とn+1は互いに素であ る。

全くわかりません どなたか教えていただきたいです！

338 第9章 整数の性質 応用問題 1 正の整数a,bに対して, a を bで割った商をα余りを とする.つ まり、 a=bq+r が成り立つとする.このとき,以下が成り立つことを示せ. (1) aとbの公約数をd とすると,dはbとrの公約数でもある. brの公約数をd' とすると, d' はaとbの公約数でもある. (2) (3) αともの最大公約数とbrの最大公約数は一致する. 精講 ユークリッドの互除法の 「核」 となる p336 の (*) を証明してみま しょう. 考え方としては, 「αと6の公約数」と「brの公約数」 が (集合として) 一致することを示そうというものです. それがいえれば当然, それぞれの最大公約数も等しいといえます. 解答 (1) αと6の公約数がdであるから, a=dA, b=dB (A, B は整数) とおける.このとき d bx 4 (es) bog= bog= (01)bog r=a-bg=dA-dBg=d(A-Bg) dx (整数) なので,rはdの倍数である. (bもdの倍数でもあるので,) dは6とrの公 約数である. (2)との公約数がd' であるから, WAON (ROSS) b=d'B',r=d'R (B', R は整数) とおける.このとき a=bg+r=d'B'g+d'R=d' (B'q+R) d'x (整数) なので, a は d' の倍数である. (bもd' の倍数でもあるので,) d' はαと の公約数である。 (3)(1)(2)より「α と6の公約数」は「bとの公約数」 と(集合として) 一 致する.したがって, それぞれの最大公約数も等しくなるので、題意は示せ た。 おません る 持 る

高校数学です。 ユーグリットの互除法です。 蛍光ペンで引いているところがわかりません。 どなたかよろしくお願いします🙇‍♀️

[参考] 75x+64y=1 を満たすx,yの組の1つ は,ユークリッドの互除法により, 次のよう に求められる。 75=64・1+11 64=11.5+9 2)911)64)75 4 1 5 1 8 9 55 64 11=9.1+2 1 2 9 11 9=2・4+1 あ よって 1=9-2.4-9-(11-9)-4 = 9.5-11.4 =(64-11.5).5-11.4 =64.5-11.29I+4) = 64.5-(75-64).29 ゆえに =75 (-29)+6434 x=-29,y=34

(2n +1，n)＝(n，1)＝1 がわからないです教えてください

52 343 ユークリッドの互除法を利用して, 次のことを証明せよ。 nを自然数とするとき nと2n+1は互いに素である。

高２です 去年数aで、ユークリッドの互除法や不定方程式を習ってないのですが、新しい指導要領には入ってないのでしょうか？

波線を引いたところについて質問です なぜg＞0になるのですか？

補足 0. 1次不定方程式の整数解が存在するための条件 6は0でない整数とするとき,一般に次のことが成り立つ。 +by=1 を満たす整数x,yが存在するαともは互いに素………(*) このことは, 1次方程式に関する重要な性質であり, 1次不定方程式が整数解をもつかど うかの判定にも利用できる。 ここで, 性質 (*)を証明しておきたい。 まず,⇒については,次のように比較的簡単に証明できる。 (*)のの証明] ax+by=1 が整数解 x=m, y=n をもつとする。 また,aとbの最大公約数をg とすると a=ga', b=gb′ と表され am+bn=g(a'm+6'n)=1 g=1 よって,gは1の約数であるから したがって,aとは互いに素である。 ◆aとbの最大公約数が 1となることを示す方 針。 p.397 基本例題 103 (2) 参照。 α'm+b'n は整数, g>0 433 一方の証明については,次の定理を利用する。 4章 aとbは互いに素な自然数とするとき, 6個の整数 a1,a2, a 3, ・・・..., ab をそれぞれ6で割った余りはすべて互いに異なる。 証明 i, jを 1≦i<j≦b である自然数とする。 ai, aj をそれぞれ6で割った余りが等しいと仮定すると背理法を利用。 aj-ai=bk (k は整数)と表される。 よって a(j-i) =bk 差が6の倍数。 aとは互いに素であるから, j-iはもの倍数である。... ①p, gは互いに素で, pr しかし, 1≦j-i≦b-1 であるから, j-iは6の倍数にはな がqの倍数ならば, rは gの倍数である(p,a, rは整数)。 5 らず,①に矛盾している。 est したがって,上の定理が成り立つ。 t [(*)のの証明] 15 ユークリッドの互除法 aとbは互いに素であるから,上の定理により6個の整数α・1,上の定理を利用。 a•2, a·3,......., ab をそれぞれ6で割った余りはすべて互いに 異なる。 ここで,整数を6で割ったときの余りは 0, 1, 2, 6-1のいずれか(通り)であるから, akをbで割った余りが 1となるような整数ん (1≦k≦b)が存在する。識は akをbで割った商を1とすると ak=6l+1 すなわち ak+6(-1)=1 よって, x=k, y=-l は ax + by = 1 を満たす。 すなわち, ax+by=1 を満たす整数x, y が存在することが示 された。 このような論法は, 部屋 割り論法と呼ばれる。 詳しくは次ページで扱 ったので、読んでみてほ しい。

大問のなかで同じ文字を使う場合問題番号が違くても「'」をつけて区別した方がいいのでしょうか？ (1)でBを使って(2)でもBを使うなど

338 第9章 整数の性質 応用問題 1 正の整数a,bに対してaをbで割った商をg,余りをとする.つ まりり a=bq+r が成り立つとする.このとき,以下が成り立つことを示せ . (1) aとbの公約数をdとすると,dはbとの公約数でもある. (2) bとの公約数をd' とすると,d' はaとbの公約数でもある. (3) aとbの最大公約数ともとの最大公約数は一致する. コメ P るも 持つ る」 る持る数は素 数 精講 ユークリッドの互除法の 「核」 となるp336の(*) を証明してみま しょう.考え方としては, 「α ともの公約数」 と 「bとrの公約数」 が(集合として)一致することを示そうというものです.それがいえれば当然, それぞれの最大公約数も等しいといえます. 解答 (1) αとの公約数がdであるから, (Res) bog a=dA, b=dB (A, B は整数) とおける.このとき r=a-bg=dA-dBg=d(A-Bg) dx (整数) なので,rはdの倍数である. (bもdの倍数でもあるので,)dはbとrの公 約数である. (2)との公約数がd' であるから, b=d'B',r=d'R (B', R は整数) とおける.このとき a=bg+r=d'B'q+d'R=d'(B'q+R) d'x (整数) なので, a は d' の倍数である. (bもd' の倍数でもあるので,d'はaとb の公約数である. αと6の公約数」は「brの公約数」と(集合として)一 致する.したがって,それぞれの最大公約数も等しくなるので、題意は示せ た.

この問題なんですが、modを使うとこの答えになったのですがこれは正しいですか？ばつですか？

Think 256 方程式の整数解(3) [ 不定方程式 57x+13y=1 の整数解を求めよ. (方 解答 例題255のように特殊解を求めたいが, 係数が大きいため実際に値を代入して求めるのは困難である。 57×(整数)+13×(整数)=1 の式をつくるために, ユークリッドの互除法を用いる. 方程式 57x+13y=1 ...... ① の係数 57と13について ユークリッドの互除法を用いる. 57=13×4+5 より 57-13×4=5 13=5×2+3 より 13-5×2=3 ......3 5=3×1+2 より 5-3×1=2 ・④ 3=2×1+1 より 3-2×1=1 ...... ⑤ 3 不定方程式 515 **** Ocus ⑤④を代入して, 3-(5-3×1)×1=1 3×2-5×1=1 これに③を代入して, (13-5×2)×2-5×1=1 13×2-5×5=1 5-3×1 3-②×1=1 AA(S)S S-V 13-5×2 (x)+ ③ ×2-5×1=0 13×2-(57-13×4)×5=1 これに②を代入して, したがって, ① - ⑥より 57×(-5)+13×22=1.... ⑥ x=-5,y=22が 57(x+5)+13(y-22)=0 57(x+5)=13(22-y) ...⑦ 57と13は互いに素であるから,x+5は13の倍数となる. したがって, んを整数として x+5=13k すなわち, x=13k-5 (S2) これを⑦に代入すると, 57k=22-y より, y=-57k+22 よって、 求める一般解は, ①の解の1つ とする 57×13k=13(22-y) Date - Jez 与えられた方程式の係数が大きい場合は,係数について 33 x=13k-5,y=-57k+22 (kは整数) ユークリッドの互除法を利用して考える 第9

⑵です。ユークリッドの互除法を使うのですがちんぷんかんぷんです。 割られる数と割る数の最大公約数＝割る数と余りの最大公約数、というのは丸暗記ですか？ そしてなぜn+3は2の倍数でないことが条件なのですか？ 解説お願いします🙇‍♀️

54 ユークリッドの互除法 (1)95754 の最大公約数を求めよ. (2) 2つの整数2n+30とn+3の最大公約数が3となるような30以下の 自然数n をすべて求めよ.

黄色の線が引いてある部分が分かりません。 63(x－6）+29（y+13）=0までは理解出来ました。 その次の63(6-x)= 29（y+13）になるのかが分かりません。 63(x－6）=29(-y-13)だと思いました。なぜこのようになるのか教えてください🙇‍♀️

(1) 方程式 63x+29y=1 ・・・・・・ 1① の係数 63 と 29 につ いてユークリッドの互除法を用いる. 63=29×2+5 より 29=5×5+4 より 5=4×1+1 より, ④に③を代入して これに②を代入して、 63-29×2=5 ...... ② 29-5×5=4...... ③ 3 5-29-5×5)×1=1 5-4×1=1 ......④ (4) (63-29×2)×6-29×1=1 5×6-29×1=1 $1=4+) 63×6+29× (−13)=1 (2) 73x-26y したがって, ①-⑤ より, 63(x-6)+29(y+13)=0 なる. したがって, んを整数として 6-x=29k, すなわち, 63(6-x)=29(y+13) ...... ⑥ 63と29は互いに素であるから, 6-xは29の倍数と ・⑤ x=-29k+6 63×29k=29(y+13) これを⑥に代入すると, 63k=y+13 より, よって、求める整数解は, x=-29k+6,y=63k-13 (nは整数) y=63k-13 1202 の係数 73と26 につ