(4)の解説でなんで割ったら最小値が求められるのかわからないので教えて欲しいです!!

基礎問 256 第8章 ベクトル 165 四面体 (Ⅱ) 座標空間に2点A(2, 2, 3), B(4, 3, 5) をとり,ABを1辺と する正四面体 ABCD を考える. (1) AB, AB AC を求めよ。 (2) 辺AB をt (1-t) に内分する点をPとするとき,PC・PD |PC をt で表せ. △ (3) ∠CPD=0 とおくとき, coseをtで表せ。 (4) cose の最小値と,そのときのtの値を求めよ。 精講 (1) AとBしか与えられていないのに, AB AC が求まるのか?と 思った人は問題文の読み方が足りません。 「正四面体」と書いてあります. 正四面体とは,どのような立体 でしょうか. (2)164のポイントにあるように, 平面 PCD で切って平面の問題にいいか ます。 (3)空間でも, ベクトルのなす角の定義は同じです. 解答 正四面体だから (1) AB= (2,1,2) だから,20 |AB|=√4+1+4=3 また, △ABCは正三角形だから, ∠BAC= =2, |AC|=|AB|=3 :.AB.AC=|AB||AC|cos/5 3 1 9 =3.3. 2 2 (2) PC=AC-AP=AC-tAB PD=AD-AP=AD-tAB B △ACD, △ABDも正三角形だから AC·AD=AB·AD=AB·AC= 9 1-10 正四面体の性質 2 よって、PC・PD=912-9t+2 9 また,|PC|=|AC-tAB|=|AC|-2tAB・AC+AB 257 A 92-9t+9 (3)|PD|=|AD-tAB=92-9t+9 だから 正四面体だから (1) PC・PD 18t2-18t+9 cos = |PC|PD| 2(912-9t+9) 2t2-2t+1 2t2-2t+2 (4) cos0=1- 1 COS 212-2t+2 すべて等し距離 品 1 +- + 2 <わり算をすることで, 分子の次数を下げる 1 よって,t=1/2 のとき,最小値 1/3 ポイント 正四面体とは, 4つの面がすべて合同な正三角形であ る四面体 注 正三角すいと正四面体は異なります. 正三角すいとは, 右図のように, A 1つの面は正三角形, その他の面は, 合同な二等辺三角形であるような四面 体です. B 1-t 演習問題 165 ・PC・PD=(AC-AB) (AD-AB) =AC・AD-tAB・AC-tAB・AD+LAB 1 正四面体 ABCD の辺 AB, CD の中点をそれぞれ, M, Nとし, 線分 MN の中点を G, ∠AGB=0 とするとき, AB=2 として次の 問いに答えよ. (1) GA, GB を AB, AC, AD を用いて表せ. (2)|GA, GB GA・GB の値を求めよ. (3) cose の値を求めよ. このとき 第8章

16の(1)と(2)の解き方が分かりません。 どなたか教えていただきたいです🙇‍♀️💦

(3) +6 (4)|3d+26| 問1.16 15d=(2-1)=(1,2) のとき,(+2)を求めよ. 16 ||=√2,16=2√2,18+6=V6のとき, 次の問いに答えよ. b 教問 1.17 (1)の値を求めよ. (2)とのなす角 0 を求めよ.

黄色の部分で右辺が+-√5（16+k^2)なら2乗しても同値になるのは何故ですか？どなたか教えてください🙇また、両辺が負の場合2乗すると同値性は崩れますか？解説していただけると嬉しいです。

C1.35 (1) 2直線x+2y+5=0, x-3y+1 求めよ. (2) 2直線 4x-ky+2=0.2x+y+1=0 のなす角が 45° のとき, 定数kの値を求めよ (1)x+2y+5=0 の法線ベクトルの1つをとすると =(1,2) x-3y+1=0 の法線ベクトルの1つをひとすると, v=(1,-3) 2つのベクトル, ひのなす角をα とおくと, U⚫V cosa= uv -5 1・1+2・(-3) √5/10 1 = == 52 √2 したがって, 0°≦a≦180° より, α=135° よって, 2直線のなす角0 は, 0°≧≦90° より 0=180°-135°=45° (2) 4x-ky+2=0 の法線ベクトルの1つを とすると, u=(4. -k) 2x+y+1=0 の法線ベクトルの1つをひとすると, =(21) → 100-8-x-x8 2つのベクトル u, v のなす角を0とおくと, → u⚫v 4.2+(-k)・1 coso= uv √√16+k²√5 2直線のなす角が45° だから, 20 8-k したがって, == =土 8-k = √5(16+k²) 5 x-3y+1=0 y a Da 0 D x+2y+5=0 5 2 12つのベクトルのなす角αは、 0°≦a≦180°で考える。 2直線のなす角0 は、 0°≦0≦90°で考える。 > 90°のとき, 0=180°-a とのなす角は, 2 045° または 135° 両辺を2乗して √5(16+k²) √2 √2(8-k)=±√5(16+k) 2(8-k)'=5(16+k²) 264-16k+k²)=5(16+k) 3k'+32k-48=0 (k+12)(3k-4)=0 <右辺が±√5(16+k)より 2 乗しても同値 4 よって, k=-12, 3

ベクトルです！！ (右辺)≧0だからというところからわかりません。 どなたかよろしくお願いします🙇‍♀️

-1-20 (206) 例題 C1.9 2 つのベクトルのなす角 **** (1) 2つのベクトル α = (3,1), b= (c, c+2) のなす角が45°となるよ うなcの値を求めよ. (2)=1とする。つなが 2dのなす角 0 を求めよ。 考え方 (1) ab=ab+ab, ab=|albicos0 の2式を用いてc に関する等式を作る 解答 その際、条件式の両辺を2乗した場合, なす角が135°となる解が混入してしま wwwwww ので、内積 α-b の符号によるチェックを忘れないようにする。 wwwwww (2) (c+d) (c-2d), Ic+dl. lc-2dl cos (1) a=√10, 6=√c²+(c+2)=√2c²+4c+4, JJCAA a・b=3·c+1・(c+2)=4c+2 a1= |a|||cos45° より, y 4 Thi 例 4c+2=√10√2c2+4c+4 √2 4c+2=√5√2c²+4c+4 ・・・・・① 1 85/45° (右辺) ≧0 だから, 4c+2≧0 CZ 2 0 ①の両辺を2乗して, 16c'+16c+4=5(2c+4c+4) 3c2-2c-8=0 AMIS (3c+4)(c-2)=0 より, C=- 2 g_4 3' C= =1のとき. ー ②より c=2 す角は135°になる。 (2)alcos60°=1.1.12=1/2だから。 010-81-48- -7-824- 3 |c+dl²= |c|²+2c+d+|a|²=3 ± 1, |c+àl√√3 b c-2d-c-4cd+4d=3. c-2d=√√3 (c+d)-(c-2d)=\c-cd-21d1²=-3 MO (c+à)-(c-2à) 32 以上より, cos= Ic+alle-2à √3√3 40 -4-3 135° 2 60°- A 30 Focus 練習 C1.9 ** よって、0°0≦180°より, 0=120° a=(a,a),h=(b,b) のとき,ab=ab+ab -MO (1) 2つのベクトル = (1,√3) と(1-c2c) のなす角が60°となるよう なcの値をすべて求めよ。 141 (2)|cl=1.2 とする. 2つのベクトルのなす角が60°であるとき cadのなす角0 を求めよ. <80A>

解説のところの ≠0であるから がどうしてこう言えるのかわかりません。 aベクトルとbベクトルのなす角が0°ではなくても、aベクトルとbベクトルの内積−aベクトルの大きさ×bベクトルの大きさが0になる場合も考えられるのではないんですか？

基本 例題 53 ベクトルの大きさに関する等式の (1)四面体 OABC において, ベクトル OAとBC が垂直ならば JAB|+|OC|=|AC|+|OB|2 とする。 [類 新潟大] (2)=(3,4,12 (30.4)=atについて,こと, ことのな であることを証明せよ。 す角が等しくなるような実数 tの値を求めよ。 p.460 基本事項 2, 3 重要 55 )を示す。

ADベクトルとGEベクトルのなす角ってなぜ、120度になるんですか？💦

42 右の図のような AD=AE=1, AB=√3の直方体ABCD-EFGH に おいて,次の内積を求めよ。 (1) AB DC (3) AE DB CE(4) AD GE DOD (2) AB AC ● ポイント1 内積 ポイント② alid = (i=0, 8=0) 16 b+0) A / 1 E (平面の場合と同じ) D √√3 B F C G

ベクトルのなす角の問題です。 なす角の範囲を0°≦γ≦180°とした後、γの値が60°と120°になる所までは分かったのですが、なぜ最終的な答えが120°になるのでしょうか。なす角とは普通鋭角だと思って60°と答えてしまいました。

203 大きさが2で, x軸の正の向きとなす角が45℃, y 軸の正の向き となす角が60° であるような空間のベクトルを成分表示せよ。 ま た, そのベクトルがx軸の正の向きとなす角は何度か。

12.1 ①より1-p>0というのは、 ①の右辺は√1+p^2>0で正の数の掛け算だから、 左辺の1-pも1-p>0である、ということですか？？

1,-3) 本事項 ④ ●とすると を解く問 1x 基本例題12 ベクトルのなす角 を正の数とし, ベクトルa=(1,1) と=(1, -p) があるとする。いま、 ことのなす角が60°のとき, かの値を求めよ。 [立教大 ] (②2) α=(-1,3), 6=(m,n)(mとn は正の数), |=√5のとき、ことのな す角は45° である。このとき, m, nの値を求めよ。 指針 内積 α･b について を用いて a-b=alb|cos0, a·b=a₁b₁+a₂b₂ の2通りで表し,これらを等しいとおいた方程式を利用する。 図 (1) では, (2) では m,nの値がいずれも正の数であることに注意。 解答 (1) a·b =1·1+1 (-p)=1-p |ål=√1²+1² = √√2, 161=√1² + (− p)² =√1+p²157 成分による表現。 4.6=|4||5|cos 60°から 1-p=√√2 √1+p² x 1/2 ① ① の両辺を2乗して整理すると p²-4p+1=0 =(1+x) X p=2±√3 (ata ここで,①より 1-p>0であるから 0<p<1 ゆえに (2) 161=5から p.400 基本事項 ④ p=2-√3+20+1 12 8+1×1 (-2)=67 √1+²>0であるから, ①の右辺は正。 よって, ① の左辺は 1-p>0 が出てきたとき 403 1章 3 ベクトルの内積

回答と解説お願いしたいです！

問 21 次の2つのベクトルのなす角 を求めよ。 (1) a=(1, √3), 7=(√3, 1) = √√3+√3 = √6 (2) a=(1, -2), =(-3, 1) a (3) d = (2,3),T= (6, 4) (4) a=(3, -2), =(-6, 4) 18 1章 平面上のベクトル

赤線で囲った部分、なんで法線ベクトルがこうやって求まるのですか

3 基本例題 35 内積と直線のベクトル方程式, 2直線のなす角 ①①00 (1) 点A(3,4)を通り, 直線ℓ: 2x-3y+6=0 に平行な直線をg とする。 線の方程式を求めよ。 (2) 2直線 2x+y-6=0, x+3y-5=0 のなす鋭角を求めよ。 指針 直線 x+⑥y+c=0 において, n = (ⓓ, ⑥) はその法線ベクトル (直線に垂 なベクトル) である。 (1) 直線lの法線ベクトルはすぐにわかるから,これを利用すると lin, l//g⇒g¹ñ すなわち, は直線gの法線ベクトルでもある。 (2) 2直線のなす鋭角 2直線の法線ベクトルのなす角を考える。 直線 2x+y-6=0の法線ベクトル =(2,1), 直線x+3y-5=0の法線ベクトル m=(1,3) を利用して, n,mのなす角00°≧0≦180°) を考える。 (1) 直線l: 2x-3y+6=0の法線ベクトルである n=(2,3) は, 直線g の法線ベクトルでもある。 よって, 直線上の点をP(x, y) とすると n•AP=0 AP=(x-3, y+4) であるから 2(x-3)-3(y+4)=0 すなわち 2x-3y-18=0 (2) 2直線 2x+y-6=0, x+3y-5=0 の法線ベクトルは, それぞれ n=(2,1), m=(1,3) とおける｡ nとのなす角を0 (0°≧0≦180°) とする |z =√2+12= /12+32 2×1 O 7 0 m=(1,3) n=(2,1) P.415 基本事項 (1) -30 -4 g 3 A ●直線の方程式に yの係数に注目。 cos o= とのなす角 à.b Tä||b|