例題 62 連続と微分可能
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関数 f(x) ={
Ax)=x'sin
xsin=(x≠0)
は. x=0 で連続か. また, x=0 で
(x=0)
微分可能か.
考え方 連続も微分可能もそれぞれ定義に戻って考える.
〈 連続>
<微分可能>
f(x) が x=αで連続
f(x) がx=αで微分可能
⇔limf(x)=f(a)
f(ath)-f(a)
⇒ ƒ'(a)=lim²
h
が存在する
このとき、「微分可能であれば連続」 であるが 「連続であっても、 微分可能とは限らな
「い」 ことに注意する.
0s|sinh|51, x>0 &D.
解答
x=0で 0≦sin- ≦1, x>0より
orinox
limx=0より.im|x°sin-1=0
1-0
したがって,limf(x)=limx'sin==0
r0
0
f(0)=0 より. limf(x)=f(0) となり
10
limf(x)=f(0) であるか確
0-5
かめて, x=0 で連続かど
うか調べる.
x>0より 各辺にx”を
掛けても、不等号の向きは
変わらない.
各辺をx0として極限
をとり, はさみうちの原理
関数f(x) は x=0 で連続である.
を利用する.