問3と問4の答えを教えてください🙇

多項式の整理 1 多項式2x°y+4xy+3x°y における2つの項2.x°y, 3x°y のように,文 章 字の部分が同じ項を同類項 という。同類項を1つにまとめて 2xy+4xy+3x°y = (2+3) x"y+4xy = 5x°y+4xy のように式を簡単にすることを,多項式を整理する という。 5 問3 多項式3x°y+4xy-7x°y+5xy-4を整理せよ。 る式 整理された多項式において, 各項の次数のうち最も高いものを, その多 こそ 項式の次数といい, 次数がnの多項式を n次式という。 また,多項式の項の中で, 文字を含まない項を定数項 という。 例3 4x+xy?-2x+y+5は, 3次式で, 定数項は5である。 10 多項式を特定の文字に着目して整理することがある。このとき,着目し 10 ている文字を含まない項を定数項と考える。 4x+ xy?-2x+y+5をxに着目して整理すると 4x+(y-2)x+ (y+5) 例4 となり,xについては2次式で, 定数項は y+5である。 15 多項式x°+x°yーy+7x-4y+1について, xに着目したときの次数 と定数項を答えよ。 また, yに着目したときについても答えよ。 問4 15 数と式一

黒で囲った部分がわからないので教えていただきたいです。

問題 204(x+1)f (x) = 2f(x) +4, f(0) = 0 を満たす整式で表された関数 f(x) を求めよ。 定数をおよび関数f(x) を求めよ。 f(x)-f(x) =D2kx+°x+1 …① とおく。 f'(x) =D 0 f(x)を定数関数とすると このとき,左辺は定数であり, 右辺は3次式となるから, ① を満たさ ない。 よって,f(x) は定数関数ではない。f (x) をn次式 (nは自然数)とす ると,f(x) は(n-1)次式であるから, ① の左辺は (n+1)次式となる。f (x)がれ次式で °f (x)は (n+1 であるから,左 (n+1)次式となる。 一方,①の右辺は3次式であるから n+1=3 すなわち n=2 ゆえに,f(x) は2次式である。 F(x) = ax° + bx+c (a+0) とおくと のに代入して整理すると 2ax°+ (b-a)x°- bx-c=2kx°+x+1 これがxについての恒等式であるから, 係数を比較して 2a = 2k …2, b-a=k …③, ー6=0…④, Ic=1…⑤ 3, 0より これを2に代入して整理すると f(x) =D 2ax+6 a= -k° -2° = 2 より 2°+2k=D0 24(k+1) =1 kキ0 より 2k(k+1) = 0 k= -1 2,0, 6より a= -1, b= 0, c=-1 k= -1, f(x) = ー-1 したがって (x+1)f(x) = 2f(x) +4·① とおく。 f(x)を定数関数とすると,f(0) = 0より f(x)= 0 このとき f(x) =0 となり Ma)が定数関数 rについ f(x)の次教

青のマーカー引いてる部分、なぜこうなるか解説お願いします🙇‍♀️

☆お気に入り登録 B問題 458 *458. f(x) はxについての整式で, f(1)=0 とする。す^のxに対して 2F (x)-xf"(x)-130 が成り立つとき, f(x) を求めよ。 解説を見る 458.(i) f(x) が定数関数のとき,f(x)=0。であるから, OF(x) が定数関数のとき、 2F(x)-xf"(x)-1=0 より, /(x)=。 S(x)=0 これは f(1)=0に反する。 よって,f(x) は定数関数ではない。 (i)f(x) がn次式(n21)で最高次の項。を ax"(aキ0)とする O(x)の最高次の項のみを考 える。 と,f'(x) の最高次の項は nax"-1であるから,条件式の左辺の 最高次の項は, 2ax"-nax"=(2ーn)ax" となる。 すべてのxに対して条件式が成り立つので、 aキ0 より, (i), (i)より, f(x) は2次式であるから, f(x)=ax*+ bx+c (aキ0)とおく。 『(x)=2ax+b より, 2f(x)-x(x)-1=0 に代入して, 2(ax°+ bx+c)-x(2ax+6)-1=0 (2-n)a=0 n=2

答え見ても解き方が分からないので、 教えていただきたいです。

式の る 1+ (ローx)p=(1+ *405. f(x) はxについての整式で, f(1)=0 とする。すべてのxに対して, 2f(x)-xf'(x)-1=0 が成り立つとき,f(x) を求めよ。 1418 →例題 70 lt/、 1

参考の部分だけがわからないので詳しく説明してほしいです。

43 25 剰余の定理(IⅡ ) 整式(x) を2.r+1, 2.ェー1でわったときの余りがそれぞれ4 6のとき,f(r)を4.ー1でわったときの余りを求めよ。 2で学んだように, わり算が実行できなくても 「刺余の定理」を使 えば余りを求められます、 しかし, この定理は1次式でわったとき の余りを対象にしたものです。 この問題のように、 2次式でわった 積講 ときの余りを要求されたらどのように対処するのでしょうか。 解 答 求める余りはar+bとおけるので F(x)=(4r-1)Q(x)+ax+b と表せる。 2次式でわった余り は1次以下 イーーー だから。 +カー4,+カ-6 4剰余の定理 *a=2, b=5 よって、求める余りは, 2.r+5 のポイント n次式でわったときの余りは (n-1)次以下の整式 (x)=(2.r+1)(2.r-1)Q(z)+ R(z) として、 と2ェ+1でわりきれています。 ところが、 /(x) は2.r+1でわると 4余っているので, R(x) を2ォ+1でわると4余るはずです。 だか ら、R(r)=a(2.r+1)+4 とおけます、 こうすると、 使う文字が1つだけで 済みます。 (aは, R(x) を2ェ+1でわった商を表している) この考え方は, たいへん有効な考え方なので、 次の 2回 で使ってみます。 部分だけを見る 消習問題 25 整式(x)をー2でわると3余り、+1でわると6余る、 この とき、(r)を(r-2) (z+1) でわったときの余りを求めよ、 第2章

青線のところを教えていただきたいです。 R(k)-k=0が因数定理によってR(x)-x=(x-1)(x-2(x-3)…になる理由が分からないので教えてほしいです🙇🏻‍♀️ (文系数学の良問プラチカ 51)

51. (1) 2の整式 P(x)を x-1 で割った余りが1, x-2 で割った余りが 2, 2-3 で割った余りが3となった。 P(x)を(z-1) (x-2)(x-3) で割った余りを求めよ。 (2) nは2以上の自然数とする。 k=1, 2, 3, …, n について, 整式 P(x)をx-k で割った余りがkとなった。 P(x)を(x-1) (x-2)(x-3)… (x-n) で割った余りを求めよ。 (神戸大)

ハテナの部分の指数の計算が、合わなく、どのように計算したかがわからないです、、教えていただきたいです🙏

4 f'(x)の入った方程式一 (は)-f(エ)3Dr+ar+bx を満たす整式f(ェ)は[(1)]次式であり, このとき, tb%=D[(2)である。 (東洋大·理工) まず次数を決める 求められないか」を考えるところである. f(z)=Az"+ (n-1次以下の式)とおいて, 次数を決定し よう、次数が決まったあとは, 各係数を未知数として方程式を立て, 具体的に係数を決めていけばよい。 ここでは誘導でf(x)の次数を問われているが, この誘導がなくても「次数を 「解答■ (1) f(x)がn次式であるとして, f(z)= Az"+(n-1次以下の式) (Aキ0) とおく、これを微分して, f'(z)=nAz"-1+(n-2次以下の式) となるので,与えられた等式について, (左辺)=r°f'(z)-f(z)=r°{nAzガー1+(n-2次以下の式)} ○(n-1次以下の式)を微分すると (n-2次以下の式)となる。 -{Az"+(n-1次以下の式)} = MAzn+1+(n次以下の式) つ最高次の項だけを追いかける。 これと(右辺)の+ ar'+ bx を比べて, 1 n+1=3, nA =1 n=2, A= 2 よって,f(z)はzの2次式である。 1 (2) f(z)=+ px+qとおく. (左辺)=rf(z)-f(z)=z°(z+p)-(+ pr+q 1 =+(カー)-加ー4 2 これと(右辺)の23+az?+bxの?, zの係数を比べて, 1 カーラー4, -カ=b 1 これよりかを消去して,-bーち=a カーー a+b= 2 2

⑵の解答の赤線で引いたところがよくわかりません、教えてください

を求めよ。 (2)(x+1)f(x) = 2f(x) +4, f(0) 30 を満たす整式で表された関数 f(x) を求めよ。 f(x) = ant"+ an-1x"-1+ an-2x"-2+…+ Q2x°+aix+ao(an キ0)

ここのAnの意味がわかりません、、

ノ はそれを丁寧に示し, 恒寺式のール」 解答 P(x)が定数なら P(x+1)- P(x) は常に0だから与 式は成立しない. P(x) がn次式(n21)であるとすると P(z)= ant" +an-12"-1 + … (an キ0)と書けて ■ P(z+1)= an(x+1)"+an-1(エ+1)"-1 + … となる。 88 -1}+

(1)の解答のk回微分のところからが分かりません。どなたか教えていただけませんか？

(1) n次式 (x) は任意の実数αを用いて 1! fm(a)(x-a)" 46 例題 18- n! と表せることを証明せよ。 条件を求めよ。 ることを示し,点対称の中心を求めよ。 (i) 4次関数 f(x)=ax*+bx°+cx°+dx+e (aキ0) のグラフがvに 平行な対称軸!をもっための条件, および 1の方程式を求めよ。 (有名問題) 考え方(1) 二項定理を用いて展開し, 両辺をん回微分(1<kSn) する. (2), (3) は (1)の応用。 【解答) (1) (x)=ao+a;x+ax'+…+a,x" (anキ0) =ata(x-a)+a}+a{(x-a)+α}°+…+an{(x-a)+α}” (これを二項展開して, 昇べきの順に整理し直して) =6o+6(x-a)+b(x-a)+…+b(x-α)" と書き直せる。 …0 0でx=a とすると, しt 10- f(a)= bo. 0の両辺をk回(1<k<n) 微分して x=α とすると, fla(c)=Dk(k-1)…2-1·bk. 2, ③を①に代入して : b,=f®(@) k! f(x)=D (a)+0( (の)+(D-x) 2! f"(a) 1! (2) f(x) が(x-a)' で割り切れる条件け (1) 1| fm(a) n! (終