Question

もち

青線のところを教えていただきたいです。
R(k)-k=0が因数定理によってR(x)-x=(x-1)(x-2(x-3)…になる理由が分からないので教えてほしいです🙇🏻‍♀️
(文系数学の良問プラチカ 51)

51. (1) 2の整式 P(x)を x-1 で割った余りが1, x-2 で割った余りが
2, 2-3 で割った余りが3となった。
P(x)を(z-1) (x-2)(x-3) で割った余りを求めよ。
(2) nは2以上の自然数とする。 k=1, 2, 3, …, n について, 整式
P(x)をx-k で割った余りがkとなった。
P(x)を(x-1) (x-2)(x-3)… (x-n) で割った余りを求めよ。
(神戸大)

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解法メモ
その後,(1)は自明としてもよろしい。)エー
(2)は(1)の一般形ですから((2)のnを3とした場合が(1), (2)が先にできれば,
【解答)
P(z)= (x-1)(x-2) (x-3)Q(x) +az'+ bz+c 9)
(Q(x)はェの整式で, a, b, c は定数)
とおけて,与条件および剰余の定理により,
こかるか
P(1)=a+b+c=1, () p い
P(2)=4a+26+c=2,
P(3) =9a+36+c=3.
(特()
これらを解いて、
(エ (は)
a=0, b=1, c=0.
よって,求める余りは, x.
P(z)= (z-1)(z-2)(x-3)…(x-n)S(z)+R(z)
(S(z), R(z) はェの整式で, R(z) は高々(n-1) 次)
とおけて,与条件および剰余の定理により,
P(k)=R(k)=k (k=1, 2, 3, …, n).
R(k)-k=0 (k=D1, 2, 3, …,n).
これと因数定理により、
R(x)-エ=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-n)T(x)。
(T(x)はzの整式)
T(x)=0(恒等的に0).
. R(z)-エ=0.
.. R(x)=x.
よって,求める余りは, エ.
の分)

因数定理

Answer 1

mercy

R(k)-k=0 (k=1,2,3,...,n) の部分は、kがn個の自然数であることから、R(x)-x=0が常に成り立つのでないとすると、この式がn個の解をもっていることを示しています。 ...②
つまり、因数定理から、
R(x)-x=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-n) T(x) ...③ と書けます。この式は、R(x)-x=0が、②より、n個の解を持っていることを式に表しているわけです。
しかし、解答の①から、R(x)-xも、高々(n-1)次式である、つまり最大でも(n-1)次式なので、
R(x)-x=0は、(n-1)個以下の解しか持たないはずであるんです。...④
よって③について、xの整式であるT(x)=0でないと、
②と④に矛盾が生じてしまいます。
逆に、T(x)=0であればこそ、R(x)-x=0がどのxについても成り立つことになり、R(k)-k=0 (k=1,2,3,...,n)が成り立つことも、矛盾がなくなります。

要約して言えば、R(x)-xはn-1次以下の多項式だから、これが常に0でないと、R(x)-x=0が異なる解を持つとしたら高々n-1個であるはずだけど、n個の異なる値についてR(x)-xの値が0になってしまうので、これはR(x)-x=0の解がn-1個以下であることに反する。
よってR(x)-xは常に0だ！　　
　　　　　　　というのを証明しています。
因数定理は説明のために用いられており、質問にある青線の2.3本目の部分を省いても理解できるのであればそれでいいと思います。プラチカは解説がやや丁寧気味であると前書きにも書かれていますから。

n次式の解の数

もち

分かりやすく丁寧に説明してくださりありがとうございます！！！！！わかりました✨！！！！！