Question

M

ハテナの部分の指数の計算が、合わなく、どのように計算したかがわからないです、、教えていただきたいです🙏

4 f'(x)の入った方程式一
(は)-f(エ)3Dr+ar+bx を満たす整式f(ェ)は[(1)]次式であり, このとき,
tb%=D[(2)である。
(東洋大·理工)
まず次数を決める
求められないか」を考えるところである. f(z)=Az"+ (n-1次以下の式)とおいて, 次数を決定し
よう、次数が決まったあとは, 各係数を未知数として方程式を立て, 具体的に係数を決めていけばよい。
ここでは誘導でf(x)の次数を問われているが, この誘導がなくても「次数を
「解答■
(1) f(x)がn次式であるとして,
f(z)= Az"+(n-1次以下の式) (Aキ0)
とおく、これを微分して,
f'(z)=nAz"-1+(n-2次以下の式)
となるので,与えられた等式について,
(左辺)=r°f'(z)-f(z)=r°{nAzガー1+(n-2次以下の式)}
○(n-1次以下の式)を微分すると
(n-2次以下の式)となる。
-{Az"+(n-1次以下の式)}
= MAzn+1+(n次以下の式)
つ最高次の項だけを追いかける。
これと(右辺)の+ ar'+ bx を比べて,
1
n+1=3, nA =1
n=2, A=
2
よって,f(z)はzの2次式である。
1
(2) f(z)=+ px+qとおく.
(左辺)=rf(z)-f(z)=z°(z+p)-(+ pr+q
1
=+(カー)-加ー4
2
これと(右辺)の23+az?+bxの?, zの係数を比べて,
1
カーラー4, -カ=b
1
これよりかを消去して,-bーち=a
カーー
a+b=
2
2

Answer 1

shiriru

f(x)=Ax^n+それ以下の次数(以下C)
というふうにf(x)を定義しているので、このf(x)はn次式となる。
微分すると、
f'(x)=nAx^n-1+C

これを踏まえて、与式に代入すると、解答にもある通り、
x^2(nAx^n-1+C)+(Ax^n+C)=x^3+ax^2+b
＿＿＿＿＿＿＿＿

下線部の所を整理すると、
nAx^n-1 × x^2=nAx^n+1

ここで、x^n+1は、x^nより次数が大きいので、
この式の最高次数はn+1と分かります。

右辺の最高次数は3なので、
n+1=3
n=2

となります。

Aは、最高次数の係数が1であることから、
nA=1
A=1/2