Question

ena

答え見ても解き方が分からないので、
教えていただきたいです。

式の る
1+
(ローx)p=(1+
*405. f(x) はxについての整式で, f(1)=0 とする。すべてのxに対して,
2f(x)-xf'(x)-1=0 が成り立つとき,f(x) を求めよ。
1418
→例題 70
lt/、 1

A」
405.(i) f(x) が定数関数のとき,f"(x)=0。であるから,
Of(x)が定数関数のとき,
2f(x)-xf'(x)-1=0 より,
f(x)=う
f(x)=0
これは f(1)=0 に反する。
よって,f(x) は定数関数ではない。
(i) f(x) がn次式(n>1) で最高次の項。を ax"(aキ0) とする
と,f'(x) の最高次の項は nax"nー1 であるから, 条件式の左辺の
最高次の項は,2ax"-nax"=(2-n)ax" となる。
すべてのxに対して条件式が成り立つので,
aキ0 より,
(i), (ii)より, f(x) は2次式であるから, f(x)=ax"+bx+c
(aキ0)とおく。
f"(x)=2ax+bより, 2f(x)-xf"(x)-1=0 に代入して,
2(ax°+ bx+c)-x(2ax+6)-1=0 -0+[+
すなわち,
これがxについての恒等式。となるので, 係数を比較して,
b=0, 2c-1=0
Daid-
f(x) の最高次の項のみを考
える。
十 (++ mil
(2-n)a=0
n=2
E xS ()0OM
0-
+=0-1+8-8-
bx+2c-1=0
③ 「すべてのxに対して成り立
つ」とは「xについての恒等
式」ということ。

4したがって、
O1
b=0, c=-
2
このとき,
f(x)=ax°+
12
バーー
1
=-
よって、f(x)%=D-+
f(1)=0 より,(a-
2
f(x)=-。
2