重要 例題 31 平方根と式の値 (4)
J
1+√5
のとき,次の式の値を求めよ。
a=
2
@a² + a
基本
((2) Ja²+a³+a²+a+1
(1) a²-a-1
指針 (1) 直接代入して求めることもできるが、ここでは根号をなくす工夫を考えてみ
う。
この両辺を2乗すると,根号が消える。
2a-1=√5
与えられた式から
(2) 直接代入するのでは計算がとても大変!そこで,(1) の結果を利用する。
(1) より, ²=a+1 となり, α はαの1次式で表される。
これを利用して, 式の次数を下げることができる。
例えば
次数を下
a³=a²·a=(a+1)a=a²+a=(a+1)+a=2a+1
α も同様にして次数を下げ、αの1次式に直す。 再び代入。
CHART 高次式の値 次数を下げる
1+√5
(1) a=-
から
2a-1=√5
√5について解く。
2
◄(2a−1)²=4a²—4a+1
両辺を2乗して (2a-1)²=5 よって 4²-4a-4=0
ゆえに
a²-a-1=0
(2) (1) から
a²=a+1
よって
a³ = a²a=(a+1)a=a²+a=(a+1)+a=2a+1,
a¹=a³a=(2a+1)a=2a²+a=2(a+1)+a=3a+2
<α²=(a²)²=(a+1) ²
したがって α+a²+a²+a+1
s+ =a²+2a+1
=(3a+2)+(2a+1)+(a+1)+α+1
+ = (a+1)+2a+1
1+√5
としてもよい。
=7a+5=7・
17+7√5
+5=-
2
2
1+√5
ここで α=
2
代入。
解答
げる
を
