四角で囲った部分ってどうして必要なんですか？？ f（x）は多項式ということは、f(x)=c（定数）というのはありえないと思いました。

42 X 重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定 0000 多項式f(x)はすべての実数xについてf(x+1)-f(x)=2x を満たし、 であるという。 このとき, f(x) を求めよ。 f(0) 指針 例えば,f(x) が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+cとおいて進めること できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。 .... f(x)はn次式であるとして,f(x)=ax"+bx-1+(a≠0, n≧1) とおい 進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺 2x と比較する とで次数nと係数 αを求める。 なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。 基 2 3 f(x)=c(cは定数) とすると, f (0)=1から f(x)=1 この場合 れないため、別に考え いる。 解答 これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから、不適。 よって, f(x)=ax+bxn-1+...... (a≠0, n≧1) (*) とす ると f(x+1)-f(x) I+ =a(x+1)"+6(x+1)"'+…………..- ·−(ax+bx^-1+......) =anx-1+g(x) ただし, g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。 f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから, 最 高次の項を比較して ①から n-1=1 ・①, n=2 an=2.. ② ゆえに、②から a=1 このとき,f(x)=x2+bx+c と表される。 f(0)=1から c=1 (x+1)^ =x"+"Cix-1+C24 のうち, a(x+1)"+ax"の影 次の項は anx"で、 りの項は2次以下 なる。 anx1と2.xの次数と 係数を比較。 またf(x+1)-f(x)=(x+1)+6(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが、 よって =2x+6+1 2x+6+1=2x この等式はxについての恒等式であるから すなわち b=-1 したがって f(x)=x-x+1 結果は同じ b+1=0 係数比較法。 POINT 次数が不明の多項式は, n次と仮定して進めるのも有効

（1）の問題ですが、2枚目の解答のように、P 1を登場させた意味がわかりません（赤線部分）どうしてP 1が出てきたのでしょうか。

1 を自然数とする。ェのn次式Pn(z で sin ((n+1)8) sin であるものを考える。 パー =Pn(cose) (0) 0( n=1を代 Schlo sin (1) P1(x)= アエイ H+ オ である。 P2(x)= P3(x)=カ + キ x + x+ ケ (2)についての恒等式 Pn+1(x)= 1 xPn(x) + # Pn-1(x) (n ≥ 2) が成り立つ。 (3) Pa(エ)のェの項の係数はシであり, Pa(1)=スである。 (4)Pa(cos 0) = 0 となる最小の0(0 <0 <m)は0= セ で ソ 0 ある 畳 Co ある。 (5) 2 COS 5 (1-1) (1-1) (1-3) (1-1)- 4 COS COS 5 5 = タ チ である。

この式ってどうやって計算するんですか😭

(左辺 =xf'(x)-f(x)=x^{nAxn-1+(n-2次以下の式)} 01050 ? -{Axn+( n - 1次以下の式)} = nAxn+1+(n次以下の式)

この問題教えてください

xの多項式f(x)が次の条件を満たしている。 (A) f(0)=0 (B) (x+1)f'(x)=2f(x)-4 (1)f(x)をxn次式とするとき, nの値を求めよ。 (2) f(x) を求めよ。

数学2 恒等式 赤矢印の部分の式変形が分からないので教えていただきたいです。

重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定 00000 多項式 f(x) はすべての実数xについてf(x+1)-f(x)=2x を満たし,f(0)=1 であるという。このとき, f(x) を求めよ。 5 [一橋大〕 基本15 基本事項 指針 例えば,f(x) が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+c とおいて進めることが できるが、この問題ではf(x)が何次式か不明である。 なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。 ② 条件 与え 3 比例 f(x)=c (cは定数) とすると, f(0)=1から f(x)=1 解答 これはf(x+1)-f(x) = 2x を満たさないから,不適。 よって, f(x)=ax+bx-1+...... (a≠0, n≧1)(*) とす ると この場合は,(*) に含ま れないため、別に考えて いる。 例え a b えに →f(x)はn次式であるとして, f(x)=ax"+bx"'+...... (a0.n≧1) とおいて 進める。 f(x+1)-f(x)の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺 2x と比較するこ とで次数と係数αを求める。 1 恒等 1 24 34 f(x+1)-f(x) =α(x+1)"+6(x+1)"'+......- (ax”+bx-1+...... =anxn-1+g(x) ただし, g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。 f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから, 最 高次の項を比較して n-1=1 ...... .. 1, an=2 ...... ② ①から n=2 ゆえに、②から a=1 このとき,f(x)=x2+bx+c と表される。 f(0)=1から c=1 (x+1)* =x"+nCix"-1+nCzx-2.+... のうち, a(x+1)"+1-ax” の最高 解説 例 1. 上の 次の項は anx-1で残 りの頃はn-2 次以下と なる。 (ac+ 120 anxn-1と2xの次数と 係数を比較。 (a+b (act ゆえに =2x+b+1 2x+b+1=2x またf(x+1)-f(x)=(x+1)+6(x+1)+c-(x2+bx+c)c=1としてもよいが, 結果は同じ。 比例式 比a: b よって b=-1 この等式はxについての恒等式であるから すなわち b+1=0 係数比較法。 値が等し また, 31 したがって f(x)=x-x+1 例 2. POINT 次数が不明の多項式は,n次と仮定して進めるのも有効 20 よって 練習 f(x)は最高次の係数が1である多項式であり,正の定数a,bに対し、常に ③ 21 f(x)={f(x)-ax-b}(x-x+2)が成り立っている。このとき,f(x)の次数およ びα, bの値を求めよ。 ゆえに

この解説をお願いします。

4 xの多項式f(x) が次の条件を満たしている。 (A)(0)=0 (B) (x+1)f'(x) =2f(x) -4 (1) f(x) をxのn次式とするとき, nの値を求めよ。 (2) f(x) を求めよ。

解答の赤矢印部分の理解が出来ません。左辺は一次式になるのではないのでしょうか？ 教えてください🙇‍♀️

えた守い。 (1) f(x)をn次式 (n は正の整数)とすると, x2f'(x) は (n+1) 次式 であるから, 左辺は (n+1) 次式である。 n+1=3 すなわち n = 2 また,右辺は3次式であるから よって. f(x)は2次式である。 次 式 , x2f'(x) は (n+1) f(x) は次式であるから x2f'(x) f(x) は (n+1) 次式。

左辺の最高次の項(赤線部)がなぜこれになるのか分かりません🙇🏻‍♀️

例題 186 関数の決定 xの多項式f(x) の最高次の項の係数は1で, (x-1)f'(x)=2f(x) +8 がつねに成り立つ. このとき f(x) を求めよ. 考え方 まず, f(x) の最高次の項のみを考える. また, 「つねに成り立つ｣ とは 「恒等式｣ ということである. ■解答 f(x) は定数関数にならないから、 最高次の項をx" (nは 自然数) とおくと, f'(x) の最高次の項は, n-1 したがって, 与式の左辺の最高次の項は, nx" ・① 右辺の最高次の項は, 2x" ·..... ② 与式は恒等式であるから, ①, ②より, nx"=2x" も恒等 式となる. よって, n=2 これより, f(x) は2次式なので, f(x)=x2+ax + b とお くと,f'(x)=2x+α 与式に代入すると, (x-1)(2x+a)=2(x2+ax+b) +8 (a+2)x+(a+26 +8) = 0 ......③ ・③ ③がxについての恒等式であるから, a+2= 0, a + 26 +8= 0 したがって, a=-2, b=-3 よって, f(x)=x²-2x-3 **** (南山大) 定数関数なら f'(x)=0 より f(x) = -4 となるが, これは題意に反する. 最高次の項の係数は 1 f(x) をn次式とす ると,f'(x) は (n-1) 次式 ③がつねに成り立つ ⇔ どんなxの値に ついても③が成 り立つ 係数比較は必要十分 性をもつ.

この問題2つの解説をお願いします。

4 # xの多項式f(x) が常にf(x) + x2f'(x) =kx3+kx + 1 を満たす とき, 次の問いに答えよ。 但し, kは0でない定数である。 (1) 多項式f(x) をxのn次式とするとき, nの値を求めよ。 (2) 多項式f(x) を求めよ。 "ah²-h³

演習β 第29回 6 (2)(3)の解答を教えてください。

整式f(x) について,恒等式f(x2)=xf(x+1)-2x+2x2 が成り立つとする. (1) f(0), f(1), f (2) の値を求めよ. (2) f(x) の次数を求めよ. (3) f(x) を決定せよ.