Question

よあこひ

（1）の問題ですが、2枚目の解答のように、P 1を登場させた意味がわかりません（赤線部分）どうしてP 1が出てきたのでしょうか。

1
を自然数とする。ェのn次式Pn(z
で
sin ((n+1)8)
sin
であるものを考える。
パー
=Pn(cose) (0) 0(
n=1を代
Schlo
sin
(1)
P1(x)=
アエイ
H+
オ
である。
P2(x)=
P3(x)=カ + キ x + x+ ケ
(2)についての恒等式
Pn+1(x)= 1 xPn(x) + # Pn-1(x) (n ≥ 2)
が成り立つ。
(3) Pa(エ)のェの項の係数はシであり, Pa(1)=スである。
(4)Pa(cos 0) = 0 となる最小の0(0 <0 <m)は0=
セ
で
ソ
0
ある
畳
Co
ある。
(5)
2
COS
5
(1-1) (1-1) (1-3) (1-1)-
4
COS
COS
5
5
=
タ
チ
である。

(2)
n=1 を代入すると,
P(cos)=
sin 20
sin
2 sin cos 0
sin
=2 cos(sin 0>0)
となるから,
P₁(x)=2x
と求まる。同様に、 ①にn=2,n=3を代入すると,
sin(2+1)0
P₁₂(cos):
==
sin
P₁ (cos)
となるから、
sin 20 cos 0+ sin cos 20
sin
= P(cos) cos 0+ cos 20 (** sin 0 > 0)
=
= (2 cos 0)⋅ cos 0+ (2 cos²0-1)
= 4 cos²0-1
sin(3+1)0
sin 0
sin 30 cos + sin cos 30
sin
= P₂ (cos) cos + cos 30 (sin > 0)
= (4 cos 0-1) cos 0+ (4 cos³ 0-3 cos 0)
= 8 cos³ 0-4 cos
P₁₂(x)=4x²-1
P₁(x)=8x³-4x
と求まる。
n≧2のとき、①を整理すると、
P. (cos)=
sin((n+2)0)
sin 0
sin (n+1)0 cos 0+ sin cos (n+1)0
sin 0
sin (n+1)0 cos 0+{sin (n+2)0 – sin nə}
= P(cos) cos+
2
sin 0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

別にP₁を出さずに普通に答えを出しても結構です

ただ、その次のP₃を出すときなどでは
P₂を使った方が楽です
そうしないとsinの3倍角を使うことになります

その次にもしもP₄を出すときには
P₃を使った方が楽です
そうしないとsinの4倍角を使うことになります

このように、一般には1つ前の結果を利用した方が楽です
P₂の時点では、その楽さに気づかないだけです
これが漸化式のよさです

よあこひ

なるほど！
先に進めていくとPを使う良さがわかるということですね
ありがとうございました！