-
![]()
とおく。f(n) が整数となる
分数
例題 19
3n°+174n+ 231
n°+3n+2
自然数n に対して f(n) =
(上智大
改
ような自然数nをすべて求めよ。
(CAction (分子の次数)2(分母の次数)の分数式は、副り算をして分子の次数を下げょ
が整数
165n+ 225
が整数→
f (n) = 3+
候補を絞り込む
[A はCの約数
(BはCの約数
C
ともに満たすnの値を求める。
が整数→
AB
が整数になるとは限らないから,
ロ このnに対して必ずしも
f(n)に代入して確かめる。
16
1
(整数でない
例
のとき,4は 16の約数で8は16の約数だが
4×8
16
4×8
2
まずf(n) を帯分数式化
する。
165n+ 225
165n+ 225
f(n) -3+
=3+
解
n°+ 3n+2
165n+ 225
3
も整数と
よって,f(n) が整数となるとき
+3n+2) 3 +174n-231
3+ 9n+ 6
なる。
このとき, n+1は 165n+225 の約数であるから
165n+ 225 = k(n+1) (kは整数)とおくと
kn+k-165n == 225 より
nは自然数より, Tは2以上の自然数であるから
n+1=2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
165n+ 25
(k-165)(n+ 1) = 60
(k-165)(n+1)
= 225- 165
4n+1は 60 の約数である。
よって
n= 1, 2, 3, 4, 5, 9, 11, 14, 19, 29, 59
また, n+2は165n+225 の約数であるから
165n+ 225 = 1(n+2) (1 は整数)とおくと
In+21-165n = 225 より
n+2は3以上の自然数であるから
n+2=3, 5, 7, 15, 21, 35, 105
(1-165)(n +2) = -105
(-165)(n + 2)
= 225- 330
n= 1, 3, 5, 13, 19, 33, 103
n+2は 105の約数であ
る。
よって
0, 2をともに満たすnは
逆に
f(1) = 68, f(3) = 39, f(5) = 28,f(19) = 11
n= 1, 3, 5, 19
したがって
D0.2をともに満たす
1について、f(n)が整数
となるか確認する。
n=1, 3, 5, 19
思考のプロセス
