-
1
3
W₁
168.弾性体のエネルギー
<解答>
(1) 解説を参照 (2)
mg
1
k
0=
mg
k
(4) x=
(1) (2) 物体は重力, 弾性力 垂直抗力を受け、それらの力はつ
りあっている。物体の位置がxのときのつりあいの式を立てる。 また,
板が物体からはなれるとき, 垂直抗力が0となる。 (3)物体は重力弾
性力の保存力だけから仕事をされ, その力学的エネルギーは保存される。
ばねの伸びが最大になるとき, 物体の速さは0 となる。(4) 運動エネル
ギーをxの関数として式で表し、 速さの最大値を求める。
解説 (1) 物体の位置がxのとき, 弾性力は鉛直
上向きに kx であり, 物体が受ける力は図1のよう
に示される。 力のつりあいから、
2mg_
k
1
2
m
k
9
mg-kx-N=0
N=mg-kx ...①
これから, Nとxとの関係を示すグラフは、図2の
ようになる。
(2) 板が物体からはなれるときは, N=0 となる。
(3)
-mv-mgx2-
2mg
k
図 1
x₁=
(4) 速さが最大になるときの物体の位置をxとする。 板を取り去った
直後とで, 力学的エネルギー保存の法則の式を立てると,
2+ +½kx²³²
kx
mg
図2のグラフから, N = 0 となるxの値は, x= k
(3) x=0を重力による位置エネルギーの基準とし, 板を急に取り去っ
た直後と, ばねの伸びが最大になったときとで, 力学的エネルギー保
存の法則の式を立てる。 板を急に取り去った直後, 運動エネルギー,
重力および弾性力による位置エネルギーは,いずれも0である。 ばね
の伸びが最大になるときの物体の位置をxとすると, その位置での
運動エネルギーは 0, 重力による位置エネルギーはmgx, 弾性力
による位置エネルギーは 1/21 kx² と表される(図3)。これから,力学
的エネルギー保存の法則の式を立てると
図3
200-mgx+1/23kx0=x,(kx,-2mg)
x₁=0,
2mg_
k
x = 0 は板を取り去った位置なので、 解答に適さない。 したがって,
mg
て,x2= のとき、1/12mmは最大値
k
▼mg
(1) 問題文の 「ゆっく
りと下げ・・・」とは,力が
つりあったままの状態で
板を下げることを意味す
る。
mg_
| mv²=mgx₂= kx²=-=k(x₂ − m ² ) ² + ²q² ... @
2k
速さが最大となるのは, 式 ② が最大値となるときである。 したがっ
m²g²
2k
となる。
NA
mg
図2
E=0
mg
k
+½kx²
E=0-mgx+
7
0
ンズ
(3) 物体の力学的エネ
ルギーは、 運動エネルギ
重力および弾性力に
よる位置エネルギーの和
である。
第1章力学Ⅰ
物体の位置がxのと
き 重力による位置エネ
ルギーはmgxz, 弾性
力による位置エネルギー
は kx2²/2 となる。
01/23m²の最大値を求
めるには,式②のように
平方完成をするとよい。
101
some
体に力を加えて
いて, この力がする仕事の仕事率を求めよ。
度の大きさをgとする。
(1) 物体と斜面との間に摩擦がない場合
(2) 物体と斜面との間の動摩擦係数がμ' の場合
→例題13
自然の
長さ
HALA
168. 弾性体のエネルギー図のように, ばね定数kのばねの
上端を天井に固定し,下端に質量mの物体を取りつける。 ばね
が自然の長さとなるように, 板を用いて物体を支える。 ばねが
自然の長さのときの物体の位置を原点として, 鉛直下向きを正
とするx軸をとり,重力加速度の大きさをgとする。
(1) 板をゆっくりと下げ, 物体からはなれるまでの間で,物体
が受ける垂直抗力の大きさNと位置xとの関係をグラフで示せ。
(2) (1)の場合において, 板が物体からはなれるときの物体の位置xを求めよ。
17
(3) 板を急に取り去った場合, ばねの伸びが最大となるときの物体の位置 x を求めよ
物体
板|
ばね
<
(4) (3) の場合において, 物体の速さが最大になるときの物体の位置 x と, そのとき
(拓殖大改)
速さ”をそれぞれ求めよ。
[←]自然の長さ
ors→Q
Ø Ø d d d d d d d d d d d d d d d d d d
[知識]
69. 動摩擦力と仕事■ 水平面上の壁にばね定
数んのばねの一端を固定し、 他端に質量mの物
体を取りつけた。 ばねが自然の長さのときの物
日本の位置Oを原点とし、 右向きを正とするx軸
をとる。 物体を原点Oからx軸の正の向きに距離 はなれた位置Pまで引き,静か
なすと、物体はx軸の負の向きに向かって動き出し, 0から距離s はなれた位置
8420
(愛知教
停止した。 この運動では,PとQの間のある点で物体の速さが最大となることが観測
た。 物体と面との間の動摩擦係数をμ, 重力加速度の大きさをgとする。
物体が位置Pにあるとき, ばねにたくわえられている弾性エネルギーはいくら
物体が0から距離 x はなれたPとQの間の任意の位置Rにあるとき, 物体の
エネルギーはいくらか。
物体が静止する位置Qの座標s はいくらか。
物体の速さが最大となる位置を求めよ。