Question

馬

(6)の高温熱源、低温熱源がどうのこうの
というのがわかりません。

容器内の気体の圧力 P, 〔Pa] を求めよ。
3) 容器内の気体の温度 T [K] を求めよ。
この変化における容器内の気体の圧力P [Pa〕 と体積V[m²] の関係を表すグラフをかけ。
ただし, P を用いてい
15) この変化で気体が外部にした仕事〔J〕 を求めよ。
(6) この変化で気体が温度調節器から受け取った熱量Q〔J〕を求め
68.〈気体の状態変化と熱効率〉
(6)
[A] 理想気体では物質量が同じであれば, 内部エネルギーは温度
で決まる量であり, 圧力や体積が異なっていても温度の等しい状
態の内部エネルギーは同一である。 このことから, 1molの理想
気体に対するか-V図(図1)に示す状態a (温度 T [K]) から状態
b (温度 T'[K]) への内部エネルギーの変化 4Uab 〔J〕 は,定積モ
ル比熱Cv 〔J/(mol・K)] を用いて
AUab=Cv(T-T)
[9] 気体分子の運動と状態変化 51
68
p
0
数研出版
と表すことができる。
(1) 図1に示す状態 a, b とは別の状態 c (状態aと同じ体積をもち,状態bと同じ温度で
ある状態)を考えることで ① 式を導け。
1/3
[B] 理想気体1mol の状態を図2のようにA→B→C→Aと変化
させる。 それぞれの状態変化の過程では,
A B 外部との間で熱の出入りがないものとする
B→C: 圧力を一定に保つ
C→A:体積を一定に保つ
ように変化させる。 状態 A, B, Cの圧力, 体積, 温度をそれぞれ
(p₁ (Pa), V₁ (m³), TA (K)), (P2 (Pa), V₂ [m³), TB (K)),
〔Pa], V1 [m²], Tc 〔K〕) とする。 また, 定積モル比熱をCv 〔J/(mol・K)] 定圧モル比熱
Cp
を Cp [J/(mol・K)],比熱比を y = v 気体定数を R [J/ (mol・K)] で表す。
p
P₁
P₂
図 1
0
C
等温線
V₁
図2
B
(2) 過程A→Bで気体が外部からされる仕事 WAB 〔J〕 を ① 式を用いて求め, その答えを Cv.
Cp, Ta, TB, Tc の中から適するものを用いて表せ。
(3) 過程B→Cで気体が得る熱量 QBc 〔J〕 と, 過程C→Aで気体が得る熱量 Qca 〔J〕 を Cv,
Cp, Ta, TB, Tc の中から適するものを用いて表せ。
V₂ V
(4) 過程B→C→Aで,気体が外部からされる仕事 WBCA 〔J〕 を求めよ。 これと前問の答え
とをあわせて考えると, 定積モル比熱 Cv, 定圧モル比熱 C, 気体定数Rとの間の関係
式を見出すことができる。 その関係式を導出せよ。 仕事 WBCA は、 Cv, R, Ta, Ts, Te
の中から適するものを用いて表せ。
(5) 図2に示すサイクルの熱効率e を, y,
pi
Y2 を用いて表せ。
Pa' Vi
(6) 図2のサイクルを逆向きに,すなわちA→C→B→Aの順に変化させると、 どのような
はたらきをする機関となるか｡ これが熱力学第二法則に反しないための条件を含めて、
100字以内で述べよ。
[22 岐阜大]

ト 68 〈気体の状態変化と熱効率>
(1) acc→bでの内部エネルギーの変化をそれぞれ考える。
(2) 断熱変化
Q-0
(3) 定圧変化 「QnCAT」,
定積変化
QnCy4T」
(4) 気体のした仕事とされた仕事の関係 「WされたW」 定圧変化で気体がした仕事 「WAV
「RT」表記から「が」表記への変換は、理想気体の状態方程式を用いる。
(1) acは定積変化である。 このとき気体の吸収した熱量 Qwe は
「Q=CAT」 より
Qac=1×Cv(TT)=Cv(T_T)
また、定積変化なので気体のされた仕事 Wac は Wac = 0
熱力学第一法則 ｢4U=Q+W」より, acでの内部エネルギーの変化
4Uncは4Unc=Qnc+Wac=Cv (T'-T) +0=Cv(T-T)
bとcは等温ゆえ, 内部エネルギーは変化しないので
4Uab=4Uac=Cv(T-T)
(2) A→Bは断熱変化である。よって気体の吸収した熱量 QAB は QAB=0
また、内部エネルギーの変化 4U B は、 ① 式より
熱力学第一法則より、40AB=QAB + WAB
4UAB=Cr(T-T)
よって WAB=Cv (To-Ta) [J]
(3) B→Cは定圧変化である。 よって 「Q=nCpAT」 より
QBc=1×Cp (Tc-TB)=Cp (Tc-Ts) [J] A
CAは定積変化である。 よって 「Q=nCvAT」 より
QCA 1X Cv(TA-Tc)=Cv(TA-Tc) (J) *B*
(4) B→Cは定圧変化なので,気体がした仕事 「W
AV」,気体のした仕事
とされた仕事の関係 「Wされた = -Wした」より, B→Cでされた仕事 WBC は ,
WBc=-P2 (Vi-V2)=P2 (V2-V2) ※C
CAは定積変化なので,気体がされた仕事 WCA は Wca = 0
よって WBCA = WBc+Wca = pz (V2-Vi) +0=p2 (V2-V)
ここで、状態BとCについて, 理想気体の状態方程式を立てると
B: p2V2=1×RTB ······
C:p2Vi=1×RTc ......e
ⓒ,ⓓ, 式より WBCA=p2 (V2-Vi)=R(TB-Tc) [J]
また, B→Cの内部エネルギーの変化 4UBC は, ① 式より
4UBc=Cv(Tc-TB)
B→Cについての熱力学第一法則より 4UBc = QBc+WBC が成りたつ。 ⑩
⑧式と, ⓔ, ⓘ 式より WBC=WBCA=R (TB-Tc) であることから
Cr(Tc-TB) = Ca(Tc-TB) +R (TB-Tc)
Cv=Cp-R
したがって Cp=Cv+R D が成りたつ。
(5) 状態Aについて, 理想気体の状態方程式を用いると
p₁V₁=1XRTA よってTA = DiVi
R
この式と式よりT=PV2, 式より Tc=PVを⑩,⑥式に代入し
R
R
て
Quc=C,(Tc-Ti)=1/28pa(Vi-V2) < 0 (熱を放出)
QcA=Cv(TA-Tc)= (p₁-p₂) V₁ >0 (X)
R
また、QAB=0 熱の出入りなし)
熱効率の式「e=QunQoss」より
物理重要問題集
-1 Qout |
e=QCA-(-QBC) _ Cv(P₁-P₂) V₁+Cpp₂(V₁— V₂)
QCA
分母,分子をそれぞれ
Cv(P1-P₂) V₁
a
ViCyでわると和
2/3
- Quc 20
Ts>Te
熱を放出
-B
Th>Tel
熱を吸収
p-V C
た仕事を
Wac
pl
P2- C
0
係とい

V₂
V₁
1x(B-1)×1+7×¹×(1-V) (B-1) + x (1-1/2) = -₁
(21)
=1-7-
1X
pu
・1
D2
CAP
P₂
A→B→C→Aの過程は,気体が高温熱源から熱量を吸収し, それを使って
気体が外部に対して正の仕事※Fをし、 最後に低温熱源に熱量を放出しても
その状態にもどるサイクルである。 A→C→B→Aの過程はその逆であるの
低熱源から熱量を吸収し, 高温熱源に熱量を放出する, エアコンのよ
うな機関となる。 気体がする仕事は負になるので、外部から仕事をされる
必要があり、そのことが熱力学第二法則に反しない条件となる。 (94字)
◆F 膨張過程において
D-V図の面積は気体のした
仕事を表し、 圧縮過程におい
てはV図の面積は気体の
された仕事 (負のした仕事)
を表している。よってp-v
図で囲まれた面積(下図の鉄
線部) は、 気体が1サイクル
でした仕事 (WABCA) を表し
ている。
カ+ A
WABCA

熱効率