-
の長さ
h=250
-E
0°
ngcos3
0°
_mgcos30
30°
168. 弾性体のエネルギー
解答
(1) 解説を参照 (2)
(4) x=
mg
k
V=
x=
mg_
k
m
k
て,x2=
g
物体は重力弾性力、垂直抗力を受け、それらの力はつ
りあっている。物体の位置がxのときのつりあいの式を立てる。また,
板が物体からはなれるとき,垂直抗力が0となる。(3)物体は重力,弾
性力の保存力だけから仕事をされ,その力学的エネルギーは保存される。
ばねの伸びが最大になるとき, 物体の速さは0 となる。 (4) 運動エネル
ギーをxの関数として式で表し, 速さの最大値を求める。
解説 (1) 物体の位置がxのとき, 弾性力は鉛直
上向きにkx であり, 物体が受ける力は図1のよう
に示される。 力のつりあいから,
mg-kx-N=0
N=mg-kx ...①
これから, Nxとの関係を示すグラフは、図2の
ようになる。
(2) 板が物体からはなれるときは, N = 0 となる。
(3)
mg
図2のグラフから, N = 0 となるxの値は, x= k
2mg
k
mg のとき,
k
図1
Rx
N
x=0,
x = 0 は板を取り去った位置なので、 解答に適さない。 したがって
2mg
k
mg
(3) x=0を重力による位置エネルギーの基準とし, 板を急に取り去っ
た直後と, ばねの伸びが最大になったときとで, 力学的エネルギー保
存の法則の式を立てる。 板を急に取り去った直後, 運動エネルギー,
重力および弾性力による位置エネルギーは,いずれも 0である。 ばね
の伸びが最大になるときの物体の位置を x1 とすると, その位置での
運動エネルギーは 0, 重力による位置エネルギーはmgx, 弾性力
による位置エネルギーは 1/12 kx² と表される(図3)。これから,力学
図3
的エネルギー保存の法則の式を立てると,
0=0-mgx + 1/23kx120=x(kx-2mg)
1
mv² は最大値
2
(4) 速さが最大になるときの物体の位置を x2 とする。 板を取り去った
直後とで, 力学的エネルギー保存の法則の式を立てると
0=1/2mv-mgx2+1/12kx2²
1/12mmx212/2kx=-12/21(キュー)+².②
m²g²
mg
2mg_
k
速さが最大となるのは, 式 ② が最大値となるときである。 したがっ
m²g² となる。
2k
(1) 問題文の 「ゆっく
りと下げ・・・」とは,力が
つりあったままの状態で
板を下げることを意味す
る。
NA
mgs
図2
E=0
mg
k
F000000006
i + 1/2kx ₁²
E=0-mgx+-
0
X1
1x
(3) 物体の力学的エネ
ルギーは, 運動エネルギ
一. 重力および弾性力に
よる位置エネルギーの和
である。
第1章
力学Ⅰ
物体の位置がx2のと
き, 重力による位置エネ
ルギーはmgx2, 弾性
力による位置エネルギー
は kx2²/2 となる。
0/1 m² の最大値を求
めるには,式 ② のように
平方完成をするとよい。
101
some
きる。
体に力を加えて, 一定の
いて,この力がする仕事の仕事率を求めよ。 ただし,
度の大きさをgとする。
(1) 物体と斜面との間に摩擦がない場合
(2) 物体と斜面との間の動摩擦係数がμ' の場合
→例題13
[知識]
69. 動摩擦力と仕事■ 水平面上の壁にばね定
数kのばねの一端を固定し、 他端に質量mの物
168. 弾性体のエネルギー図のように, ばね定数kのばねの
上端を天井に固定し,下端に質量mの物体を取りつける。 ばね
が自然の長さとなるように, 板を用いて物体を支える。 ばねが
自然の長さのときの物体の位置を原点として, 鉛直下向きを正
とするx軸をとり,重力加速度の大きさをgとする。
(1) 板をゆっくりと下げ, 物体からはなれるまでの間で,物体
が受ける垂直抗力の大きさNと位置xとの関係をグラフで示せ。
(2) (1)の場合において, 板が物体からはなれるときの物体の位置 x を求めよ。
(4) (3) の場合において, 物体の速さが最大になるときの物体の位置 x と, そのとき
(3) 板を急に取り去った場合,ばねの伸びが最大となるときの物体の位置xを求めよ
速さ”をそれぞれ求めよ。
(拓殖大改)
自然の長さ
自然の
長さ
物体
板|
Os→0
ばね
<
0000
X
体を取りつけた。 ばねが自然の長さのときの物
日本の位置Oを原点とし、 右向きを正とするx軸
をとる。 物体を、原点Oからx軸の正の向きに距離はなれた位置Pまで引き,静か
なすと、物体はx軸の負の向きに向かって動き出し, 0から距離s はなれた位置
停止した。 この運動では,PとQの間のある点で物体の速さが最大となることが観測
た。 物体と面との間の動摩擦係数をμ, 重力加速度の大きさをgとする。
物体が位置Pにあるとき, ばねにたくわえられている弾性エネルギーはいくら
物体が0から距離 x はなれたPとQの間の任意の位置Rにあるとき, 物体の
エネルギーはいくらか。
物体が静止する位置Qの座標s はいくらか。
物体の速さが最大となる位置を求めよ。
(愛知教育大