Question

yyy

解答の波線の部分の意味がわかりません。どのように考えたらB→Cのグラフがこのような曲線になるんですか？
解説をお願いします🙇‍♀️

58 単原子分子理想気体をなめらかに動く
ピストンのついたシリンダー内に閉じ込め、
外部と熱のやりとりをすることにより, 気
体の圧力』と体積Vを図のサイクル A→
B→C→A のように変化させる。 気体定数
をR とする。
PA
B
2p1
C
p1
A
(1) Aにおける絶対温度をT とするとき,
BおよびCにおける絶対温度をそれぞ
0
V1
2V1V
れ求めよ。
(2) A→B および C→Aの過程において, 気体が吸収する熱量をそれぞ
れ求め, p, V を用いて表せ。
(3)B→Cの過程で気体がする仕事と,吸収する熱量を求め, pi, V, を
用いて表せ。
Wout
Qin
(4) このサイクルを一巡する間に, 気体がする仕事を求め, p1, V, を
用いて表せ。
(5) このサイクルにおいて, 絶対温度T (縦軸) と体積V (横軸)の関係
を表すグラフの概形を描け。
(神戸大)

(5) C→Aは定圧なのでPV =nRT より Tは
Vに比例し,原点を通る直線となることに
注意する。
B→C間での温度変化が難しいが, 56の図
b(p 46) の等温線の状況を考えてみると、ま
ず上昇し、次に下降して元の温度に戻ること
が分かる。
2T1
AT
B
C
T₁
TA
V
0
V1
2V1

仕事
V
PAT1 T2 T3
T₁<T2<T3
高温
低温
図 b
等温線
V

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

pV=nRTで、Rは定数、同じ物質ならnも定数なので、温度一定のとき、nRTは定数。nRT=kとおくと、
　p=k/V
となり、反比例のグラフ(等温線)になります。いま、温度一定だとしたので、このグラフ上の点は全て同じ温度です

ところでTを大きくするとkも大きくなるので、色んな温度について等温線を書いてみると、右上ほど温度が高くなります。

過程B→Cの温度を考えてみると、低温→高温→低温であることがわかります。B、Cが破線で示した中心軸に対して対称なのと、BとCの温度が等しいことから、曲線は対称的に書くとよいです。

また、直線か曲線かですが、B→Cを見てみると、BやCの付近では大きく温度が変化しているのに対し、中心軸付近ではほとんど変わっていない(緑の等温線にしばらく乗っている)ので、滑らかに繋がっていそうだなとわかります

yyy

ありがとうございます！！

Answer 2

GDO

式にしてみると確認できますよ。
（解答の波線で説明したいことは「鯛のお造り」さんの回答のとおりです）

図のB→Cの変化（直線）は、P=p₁/V₁・(V₁－V)+2p₁となっています。
少し変形して、P=p₁/V₁・(3V₁－V)　…　(※）

PV=nRTなので(※)を使って、T=…の式にする（V-Tグラフ・関数にする）
T=PV/nR
=p₁/nR・(3－V/V₁)・V …（※）を代入
=p₁/nRV₁(3V₁V－V²)
=－p₁/nRV₁{(V－3/2V₁)²－9/4・V₁²}…平方完成
=－p₁/nRV₁(V－3/2V₁)²+9/4・p₁V₁/nR
Aの状態でp₁V₁=nRT₁なので、
T=－p₁/nRV₁(V－3/2V₁)²+9/4・T₁ …（※※）

BとCの状態での温度はT=2T₁ (※※に代入しても求まる)
B→Cの途中のV=3/2V₁での温度はT＝9/4・T₁(=2.25T₁) … 頂点：最大値

以上から、V-Tグラフは２次関数で、B(V₁、2T₁)、C(2V₁、2T₁)を通り、頂点(3/2V₁、9/4T₁)はB→Cの間にあることが分かります。

yyy

ありがとうございます！！