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たない。
に変わる。
の値をもとの
= (変数4個で笑
であるから,
る)。
う, 十分条件でお
確認。
の符号の変化を、現
示している。
基本例題207 3次関数が極値をもつ条件, もたない条件 ①①①①
(1) 関数f(x)=x2+ax2が極値をもつとき,定数aの満たすべき条件を求めよ。
(2) 関数f(x)=x6x2+6axが極大値と極小値をもつような定数aの値の範囲
を求めよ。
(3) 関数f(x)=x+ax²+x+1が極値をもたないための必要十分条件を求めよ。
ただし, aは定数とする。
AGUS
指針3次関数f(x) が 極値をもつ
⇔f'(x) の符号が変わる点がある
⇔f'(x)=0 が 異なる2つの実数解をもつ
⇔f'(x)=0 の判別式 D> 0
から、上の例で
の関係により
解答
(1) f'(x)=3x2+2ax
f(x) が極値をもつための条件は、 f'(x)=0が異なる2つの実
数解をもつことである。 3x2+2ax=0 の判別式をDとする
-=a²-3.0=a²
と
D>0
ここで
ゆえに, d²>0 から a = 0
D
154
(2) f'(x)=3x²-12x+6a=3(x2-4x+2a)
ロ)+(8+
f(x) が極大値と極小値をもつための条件は,f'(x)=0が異
なる2つの実数解をもつことである。
Altells
よって, x2-4x+2a=0の判別式をDとすると
1=(-2)^-1・2a=4-2a から, 4-2a>0より
(3) f'(x)=3x2+2ax+1
f(x) が極値をもたないための必要十分条件は,f'(x) の符号
が変わらないことである。ゆえに,f'(x) = 0 すなわち
3x2+2ax+1=0
実数解をもたない。
よって、①の判別式をDとすると
ここで
ゆえに (a+√3)(a-√3)≦0
......
4
D≤0
D=q²-3・1=(a+√3)(a-√3)
JERS
極大 y=f(x)
x=α
① は実数解を1つだけもつかまたは
4/4-a)=4
£57
......
基本 201206 重要 210
778
の係数)>0のとき
IV
x=B
a
極小
3次関数が極値をもつとき,
極大値と極小値を1つずつ
もつ。
x(3x+2a)=0 から
x=0,
a≠0
よって
としてもよい。
(3)
2
3
(D>0 ) · |- · - (- / -) -
a<2
D=0
(*)CO DO
a
y=f'(x))
y=f'(x) /
y=f'(x)
GREY &
| (*) D<0は誤り。
x
32
E
3
木
1
