(1)はm=-3、(２)はm=-1の場合の
直線と三次関数の交点について調べている事に
気づけるか、です。
少し分かりにくい誘導かもしれませんが、
まぁここは慣れです。場数踏みまくってください。
それから、整数解というのが特殊ですね。
ここからどうやって絞り込むか。説明します。
まず、(1)では接線となっていますね。
これは特別な状態で、今回の問題だと唯一
f(x)=m(x＋1)…(＊)
を満たすxの、異なる実数解の数が2つとなります。
(直線の傾きmを色々動かして考えてみてください。
直線と三次関数の交点の数は
(＊)の異なる実数解の個数に一致します。
今回2点で交わるのはm=-3の時だけでした。)
同様にmを動かして考えていくと、
(＊)が異なる3つの「実数解」
(整数解じゃないですよ、実数解です。)を持つ
mの範囲は、直線と三次関数の交点の数が
3つの時なのでグラフより、m＞-3、と分かります。
整数解、三次関数、と言われているので、
解と係数の関係でも良いかもしれません。
とりあえず具体的に議論するために
α、β、γ(←異なる整数)と置きます。
(グラフより、α＜-3＜β＜0＜γです)
α、β、γは整数です。3文字のうち、
不等式で挟まれているのはβです。
βが整数という条件から-3＜β＜0を用いれば
β=-２または-1、
のたった2つに絞られます。
なので、ここでそれぞれのβの値について場合分け。
2種類の場合分けで済むので楽ですね。
ここで、β=-1のとき。それは、
直線と三次関数がx=-1を共有点に持つ。
…これは、(２)で調べたのと同じですね。
よって(＊)を満たすxは(２)と同じで、
x=-1、-２±√10(≠3つ全て整数)より、不適です。
β=-２のとき、それは、
直線と三次関数がx=-２を共有点に持つ。
さらに言うと、(＊)がx=-２で成立します。
よって(＊)でx=-２として、解いていくとm=9。
(これは最初に求めたmの条件m＞-3に含まれます)
よって、とりあえずβ=-２でm=9と分かります。
ここまでは問題がありません。
ですが、αとγが本当に整数かどうか、
確認をするべきです。
それは、m＞-3というのはあくまで(＊)が
異なる3つの「実数解」を持つmの範囲だから。
異なる3つの「整数解」であることはまだ保証されていません。
なので、m=9を(＊)に入れて、因数分解して、
xを3つ全て求めます。x=-6、-２、3。
これはたしかに題意に適しますね。よってOKです。
よって、(ⅰ)(ⅱ)より、求めるmはm=9のみです。
国公立、あと数日ですね。頑張ってください。
ごめんなさい
1枚目の写真の下の赤文字でミスりました。
誤)m＞-1は条件を満たす
正)m＞-3は条件を満たす