なぜこのようになるのでしょうか？

[I] 実数aに対して,P(x) = x + ax + 3x + 1 とする。 (1) P(x) をその微分でえられる多項式P'(x)で割った商と余りを求めよ。 (2) 方程式 P(x)=0が3重解を持つとき, αの値を求めよ。 (3) 方程式 P(x)=0が3重解を持たないが2重解を持つとき, αの値を求めよ。

この問題の(ⅰ)はa＝０の時をなぜ確かめているんですか？

368 第6章 微 Think 例題 198 実数解の個数(2) **** 3次方程式-3a'x +40=0が異なる3つの実数解をもつとする。栄 数αの値の範囲を求めよ. 114 考え方 例題 197 (p.367) のように定数を分離しにくい。 このような場合は,次のように3次 数のグラフとx軸の位置関係を考える。 3次方程式 f(x)=0が異なる3つの実数解をもつ 3次関数においては、 y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わる (極大値)>0 かつ (極小値)<0 (極大値)×(極小値) < 0 (極大値)> (極小値 ) 解答) f(x)=x-3ax+4a とおくと f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a)...... ① 方程式 f(x) =0 が異なる3つの実数解をもつ条件は、 y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わること つまり、(極大値)×(極小値) <0 となることである. (i) ①より、f'(x)=0 のとき, a>0のとき、 y=f(x) A f(a)f(B) f(x)が極値をもっ f(x)=0が異なる? つの実数解をもっ f'(x)=0の 判別式) > 0 x=-a,a x -a 増減表は右のよう f'(x) + 0- 20 a (p.353 参照) + 直接, 増減表を書いて になる. f(x) 極大 極小 極値を調べたが、 a0 のとき, X a -a 増減表は右のよう になる。 f'(x) + f(x) 0 20 (+) 極大 極小 a=0 のとき,f(x)=xより,f(x)=0 の解は x=0 (3重解)となり不適 (ii) f(-a)xf(a)=(2a3+4a)(-2a3+4a) =-4a² (a²+2)(a2-2)<0 (i)より, a=0 であるから,a>0,d²+2>0より, a²-2>0 これより、 (a+√2) (a_√2)>0 a<-√2√2<a よって、求める αの値の範囲は, a<-√2√2<a 3次方程式(x)=0が異なる3つの実数解をもつ y=f(x)のグラフがx軸と3点で交わる (極大値)>0かつ (極小値) <0 (極大値) X (極小値) < 0 f'(x) =0 の判別式を 使ってもよい。 判別式をDとすると D=-4-3(-3a²) =36a2>0 より a<0, 0<a (a=0) となる. Focus 注> 例題198 で (1) f(x) が極値をもつ (Ⅱ) (極大値)×(極小値) <0 満たさないと (極値

よく分かんないです。教えてください🙇‍♀️

2 次の①~⑤のうち,高次方程式について述べているものとして正しいもの には○を、誤っているものには×をつけよ。 (1点×5) ① x-7=0の解は、7の3乗根である。 ② x3-73=0の解は, 7の3乗根である。 ③ 3次方程式が重解をもつとき,その重解を3重解という。 ④ 解の個数を, 2重解は2個, 3重解は3個などと数えることにすると, n次方程式は複素数の範囲でn個の解をもつ。 ⑤ 係数が実数である高次方程式の解の1つが虚数ならば、 それと共役な複素 数も解である。

この問題の3についてで、 解説の下の方にa🟰1は3重解だから❌、a🟰➖2は3つの実数解をもっと書いてあるのですが、どういうことでしょうか？ aを①(問題文)に代入してもpとqは消えないし、、ましてや3重解とは？ってなってます、 教えてください🙇‍♀️

12 方程式x-3x+2(1-p)x+q=0…..…① があり、x=1は方程式 ① の解の1つである。ただ し,p, g は実数の定数である。 (1) g をを用いて表せ。 (2) 方程式①の左辺を因数分解せよ。 (3)方程式 ① の解がすべて実数であるとき, かのとり得る値の範囲を求めよ。 また, 方程式 ① が異 なる3つの実数解をもち, x=1以外の2つの解のうち一方が他方の平方となるようなpの値を 求めよ。 21.0%

なぜ重解と虚数解のとき、そしてx=0のとき極大を持たないのか本当にわかりません。

数αの 基本216 とすると 3 で表し、 きる。 とする! るので、 B 0 + 極小 0 もつとき 2乗し 240 (1) 古屋大] 218 00000 f(x)=x-8x+18kx2が極大値をもたないとき,定数kの値の範囲を求め [福島大〕 基本 211.214 ⑩ 4次関数f(x) x=pで極大値をもつ x=pの前後で3次関数f(x) の符号が正から負に変わる であるから,f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を 考える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメー ジするとよい。 なお, 解答の右横の図はy=x(x²-6x+9k) のグラフである f(x)=4x²-24x²+36kx=4x(r2-6x+9k) f(x)が極大値をもたないための条件は,f'(x)=0 の実数 解の前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことであ ある。このことは、 f'(x)のxの係数は正であるから、3次 方程式f'(x)=0 が異なる3つの実数解をもたないことと 同じである。 f'(x)=0 とすると x=0 / または x²6x+9k#0 よって、求める条件は、x6x+k=0が [] 重解または虚数解をもつ [2] [1] 6x19k-0の判別式を!と 2=(-3)2-9k=9(1-k)であるから 4 よって したがっ 4 次関数が極大値をもたない条件 極値もたんD=0,PKO [2]x²5x+9k=0 に x=0を代入すると k=0, k≧1 異なる3実数解 By (3つある。 1-k≤0 (①の前後でさがする、持してる のはもたら でこ x=0を解にもつ ると ≤0 キ 極 小 α=Br k=0 ル 極 a β=y x f'(x) XX=08214²²4²37813! 8 f(x) 極大 k≥1 a k=0 + ya 0 あっとき 山鹿 k>1/ 3つもたん D k=1 3つもにひ [4次関数の極値とグラフ] 一般に, 4 次関数f(x) [ 4 次の係数は正] に対し, f'(x) = 0 は 3次方程式で,少なくとも1つの実数解をもつ。その実数解をαとし、他の2つの解が実数で あれば B., y とする。このとき, y=f(x)のグラフは,次のように分類できる。 特に、極大値をと るのは①の場合だけである。 次の係数が負のときは,図の上下が逆になり, 極大と極小が入れ替わる。) WHEA 夕 347 ② 2重解ともう1つの実数解 ③ 1つの実数解と異なる2つの虚数解 または3重解 (α=β=y) a=β<y, a<β=y www 極 a 22 INA fish 小 p.348 EX 141 (218) ただ f(x)=x^+4x+αx² について,次の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。 (2) 極大値と極小値をもつ。 6 章 関数の増減と極大・極小 あらから 得 容 大き の紹介 広く ト式復刻版1 ご購入はこち

グレーで線引きした部分の因数分解のやり方を教えてください！！

高次方程式の解の判別 方程式x- (2k+1)x2 +(k+k+1)x-k=0 ･･･ ① の実数解がただ1つと なるように、 定数kの値の範囲を定めよ。 ただし, 重解は1つと数える。 ↑ としあえず実数がブ 方程式の解は, 3重解か, または実数解1つと異なる2つの虚数解である。 P(x)=x- (2k+1)x² +(k²+k+1)x-k とおく。 4P(k)=0 であるから, P(x)はxんを因数にもつ。 これより, 方程式 ① の左辺を因数分解すると (x − k){x² − (k+1)x+1} = 0 よって x = k または x2 - (k +1)x+1 = 0 |____|___x² − (k + 1) x + 1 = 0 したがって, ① がただ1つの実数解をもつのは, 2次方程式 ··· @ ₺³ 定め (i) x =kを重解にもつ (ii) 異なる2つの虚数解をもつ のいずれかが成り立つときである。 (i) のとき, ② に x = k を代入すると 例題 12 考え方 |解 x²(k+1)x+1=02³ kを代入すると 201578 k-(k+1)k+1 = 0 k=1 このとき ② は x2-2x+1=0 となり, (x-1)2 =0 より x =1 を重解にもつ。 -3<k<1 (i) のとき, ② の判別式をDとすると, D = (k+1) - 4 < 0 より (i), (ii) より -3<k ≦1

（3）で、解と係数との関係より、α×α²=−2pまではだせたんでふが、その先の「すなわち」からなぜそうなるのかがわかりません。

#4432! A B 6 GO 口 完答への 道のり よって、方程式①の左辺を因数分解すると (x-1)(x-2x-2p) (2)別) (1)より -2px+2p -2px+2p. A 整式の割り算をして商を求めることができた。 ・ 整式の因数分解ができた。 x²-3x²+2(1-p)x+2p=x²-3x²+2x-2p(x-1) = x(x-1)(x-2)-2p(x-1) =(x-1)(x(x-2)-2p) =(x-1) (x²-2x-2p) (-2)-4-1-(-2p) ≥ 0 [a+a²=2 0 (3) 方程式①の解がすべて実数であるとき (2) より 2次方程式 x-2x2p=0 は実数解をもつ。したがって, 方程式②の判別式をDとすると, D≧0と なるので aa²=-2p すなわち 4+800 p2-/1/20 x=1以外の2つの解のうち一方が他方の平方となるとき, 方程式 ② の異な る 2解はαα² とおけるから, 解と係数の関係により [(a+2)(a-1)=0 | ₁ = - 2²³ (x-1)(x-2x-2p) 11 = / 2 (x-1)(x²-2x-2p) ③より α = -2,-1 α=1のとき,α=1 となり; 方程式 ① は3重解をもつから不適。 α=-2のとき, α = 4 となり, 方程式 ① は異なる3つの実数解をもつ。 よって, α=-2 また α=-2 を①に代入して p=4 23 B -- - 41 - 最低次数の文字で整理して因数 分解する解法である。 2次方程式 ax+bx+c=0…. A の判別式をDとすると 8 (1) 2-1, p=d 方程式が実数解をもつ IDNO ただし,D=62-4ac で, b=26′ = のときは 1/14-62-ac を用いても よい。 <解と係数の関係 2次方程式 ax2+bx+c=0 の つの解をα, βとすると a+B=- =-b aβ= a' ²

この問題でこの解説なんですが、(3)の解説で (2)の(i)、(ii)を同時に満たすとありますが (ii)の重解がx=3などの時はどうして考えないのですか？？

28 f(x)=x°+(a-1)x°+(6-a)x-6について、 SS 0-d+x (1) f(x)を因数分解せよ。 (2) f(x)=0 が重解をもつとき, a, bの関係式を求めよ。 (3) f(x)=0 が3重解をもつとき, 定数 a, bの値を求めよ。 の(S)

線を引いた部分の意味がわからないです なぜその時二重解を持つ条件になるのでしょうか

105 基本例題65 3次方程式が2重解をもつ条件 OOOO0 3次方程式x°+(a-2)x-4a=0が2重解をもつように,実数の定数aの値を定 めよ。 ( 類東北学院大) 基本 63 指針> 方程式(x-3)°(x+2)=0 の解x=3を, この方程式の 2重解 という。 また, 方程式(x+2)(x-2)=0 の解x=-2を,この方程式の 3重解 という。 まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1次式)× (2次式)3D0 の形に直す。 方程式が(x-a)(x?+px+q)=0 と分解されたなら, 2重解をもつ条件は [1] x+px+q=0が重解をもち, その重解は xキα [2]_x°+px+q=0がαとa以外の解をもつ。 であるが,一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。 なお, [1] は, 2次方程式の重解条件と似ているが,重解がxキαである(x=αが3重解で はない)ことを必ず確認するように。 2章 → 2重解は x=a 11 であ て、 り立 解答 与えられた3次方程式の左辺をaについて整理すると (x-4)a+x°-2.x°=0 イ次数が最低のaについて 整理する。また P(x)=x°+(a-2)x-4a とすると P(2)=0 よって, P(x) はx-2を因 立 ) ( (x+2)(x-2)a+x°(x-2)=0 (x-2){x?+(x+2)a}=0 (x-2)(x°+ax+2a)=0 x-2=0 または x°+ax+2a=0 この3次方程式が2重解をもつのは, 次の [1] または [2] の場 数にもつ。 よって これを利用して因数分解し てもよい。 0-2+0 0-2+ 合である。 [1] x+ax+2a=0がxキ2の重解をもつ。 a 42次方程式 Ax+ Bx+C=0 の重解は B 24 (1-) 判別式をDとすると D=0 かつ - キ2 2-1 みよ。 D=a°-4-1-2a=a(a-8)であり, D=0とすると a=0, 8 X=ー a ここで、 キ2から 2-1 aキー4 a=0, 8 はaキー4を満たす。 [2] x+ax+2a=0 の解の1つが2で,他の解が2でない。 2が解であるための条件は これを解いて このとき,方程式は [2] 他の解が2でない, とい う条件を次のように考えても よい。 他の解をBとすると, 解と 係数の関係から28=2a Bキ2から aキ2 22+a·2+2a=0 a=-1 (x-2)(x-x-2)=0 (x-2)(x+1)=0 したがって ゆえに,x=2 は2重解である。 以上から a=-1, 0, 8 ①について 練習 aを実数の定数とする。3次方程式x+(a+1)xーa=0 65 (1) が2重解をもつように, aの値を定めよ。 (2) ① が異なる3つの実数解をもつように, aの値の範囲を定めよ。 高次方程 式

共有点を持たないことから、の次の行の方程式ってイコールで結ぶと何を求める式になるのでしょうか？？

曲線C:y=x°+ax'+bx+cと放物線 y=-x?+x+1が点(1, 1) において共通な接 をもつとき,b=アイ |aー ウ, c=a+ である。 エ さらに,この共通な接線と曲線Cが点 (1, 1)以外に共有点をもたないとき a=|オカ b= キ -| ク である。 C= 解答 (アイ) -2 (ウ) 4 (エ) 4 (オカ) -3 (キ)2 (ク) 1 解説) f(x) =x°+ax°+ bx+c, g(x) =ーパ+x+1 とおくと ーメずズ·よ同じに f'(x) =3x°+2ax+b, g'(x) = -2x+1 f(1) =g(1), f'(1) =Dg'(1) 条件から よって 1+a+b+c=1 すなわち a+b+c=0 ①, 3+2a+b=-1 すなわち 2a+b=-4 ② の, 2 から また,共通な接線の方程式は この共通な接線と曲線Cが点(1, 1)以外に共有点をもたないことから, 方程式 → x+ax?+bx+c=-x+2 すなわち x°+ax'-(2a+4)x+a+4=-x+2 … 6) b=-2a-4 3, c=a+4 の yー1=(-2-1+1)(x-1) → すなわち y=ーx+2 5 はx=1 を3重解にもつ。 三次方手星式 6を整理すると やplら. x°+ax°-(2a+3)x+a+2=0 a 所は3つあるしはすやけど、(1に1)りタトに。 角はいらズ1Dド3要解になる よって (x-1)(x+a+2)=D0 ゆえに x=1, -a-2 x=1 を3重解にもつから これを3, のに代入すると ーa-2=1 これを解くと a=-3 b=2, c=1