正三角形でない △ABC の重心G, 外心0, 垂心Hは一直線上にあって,重心は
重心外心垂心の関係
377
基本例題 72
p.370, 371基本事項1, 2), 4
DOO
し心と垂心を結ぶ線分を,外心の方から1:2に内分することを証明せよ。なお。
北本例題 71の結果を利用してもよい。
杉針>証明することは,次の[1], [2] である。
[11 3点G, O, Hが一直線上にある。
これを示すには,直線 OH 上に点Gがあることを示せばよい。それには, OH と中線
AM の交点をG’として,G' とGが一致することを示す。 』
[21 重心Gが線分 OH を1:2に内分する,つまり OG: GH=1:2をいう。
AH/OM に注目して,平行線と線分の比の性質 を利用する。
3章
10
解答
右の図において,直線 OH と △ABC の
中線 AM との交点をG’とする。
AHIBC, OMIBC より, AH/OM
A
(垂心、外心の性質から。
であるから
AG':G'M=AH: OM
0。
TGiH
1
=2OM:OM
B
M
C
基本例題71 の結果から。
=2:1
ZAM は中線であるから,G' は △ABCの重心Gと一致する。
よって、外心 0, 垂心H, 重心Gは一直線上にあり
外心,重心,垂心が通る直線
(この例題の直線 OH)を
オイラー線 という。 ただし、
正三角形ではオイラー線は定
義できない。下の検討③参
照。
HG:OG=AG:GM=2: 1
『すなわち
OG:GH=1 :2
三角形の外心,内心, 重心, 垂心の間の関係
0外心は三角形の3辺の中点を結ぶ三角形の垂心である(練習 72)。
2 重心は3辺の中点を結ぶ三角形の重心である(練習 70)。
3 正三角形の外心,内心, 重心,垂心は一致する(練習 71)。したがって, 正三角形ではオイ
ラー線は定義できない。
2②
AABC の辺 BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とする。 △ABCの外心
練習
0は ALMN についてどのような点か。
72
p.382 EX48,49
O 三角形の辺の比、五心