4
四角形 ABCD があり, ∠ABC + ∠ADC = 180° である。 対角線AC を引き, △ABCをつくる。 △ABC は鋭角
2√6
三角形であり,BC=5, sin∠BAC=
sin∠ABC=
である。
5
(1) 辺ACの長さを求めよ。
(2) COS ∠ADC の値を求めよ。 また, CD : DA = 5:4 であるとき、 辺CDの長さを求めよ。
(3) 辺ABの長さを求めよ。 また, CD DA = 5:4 であるとき, cos ∠BAD の値と線分BD の長さを求めよ。
(配点20)
(2)
よって,
(1) ∠BAC=α, ∠ABC = β とすると, 仮定より, ∠ADC=180°-β
2√6
また,仮定より, α, β ともに鋭角で,
-2/6sing=
sina =
7
△ABCにおいて, 正弦定理より,
5
AC
sin a
sin ß
AC=5•
sin 8
sin a
=5 ..
cos2β=1-sin'β=1-
整理して,
x>0 より,
よって,
βは鋭角より, cosβ>0 だから,
2√6
""
7
49x2 = 49
x=1
CD=5
2√6 7
2
- (2√ 6 ) ² = 12/15
5
5 2√6
cos β =
よって, cos ∠ADC= cos (180°-β)=-cos β
=7
1
5
x2=1
=
合
次に, CD : DA = 5:4より, CD=5x, DA=4x (x>0) とおけて,
△ACD において, 余弦定理より,
1
== 5
72=(5x)2+(4x)2-2・5x・4x・cos (180°-β)
49=25x2+16x²-40x2..
2√6
5
B'
- 4x
180°—β
