基本 例題 14 合成関数の求め方など
(1) f(x)=x+2, g(x)=2x-1, h(x)=-x2 とするとき
(ア) (gof)(x), (f°g)(x) を求めよ。
(イ) (ho(gof))(x) = ((hog) of) (x) を示せ。
00000
S=(x)
14
(2)2つの関数f(x)=x²-2x+3,g(x)=-2について, 合成関数 (gof)(x) の値
域を求めよ。
指針
解答
x
/P.24 基本事項 3 重要 15, 16 \
(1) (ア) (gof(x)=g(f(x)), (f°g)(x)=f(g(x)) として計算。
(イ) h (gof) は, gf を ん とするとhok である。 (ア) の結果を利用する。
1
(2)(gof(x)=g(f(x))=f(x) まず, f(x) の値域を調べる 。
(1) (ア) (gof(x)=g(f(x))=2f(x)-1=2(x+2)-1
=2x+3
(f°g)(x)=f(g(x))=g(x)+2=(2x-1)+2=2x+1
(イ) (gof)(x)=2x+3から (ho(gof))(x)=-(2x+3)2
また
先･･･
((エ)
後
x
gof)(x)
gof
(gof) (x)=g(f(x))
(h°g)(x)=-(2x-1)2+xsSI+"
よって((hog)。f)(x)=-{2(x+2)-1}=-(2x+3)2
したがって (ho (gof)) (x)=((hog) of (x) xlp$I+108=
(2) (gof)(x)=g(f(x))=
12
=
1
x²-2x+3(x-1)+2あ
~
この順序に注意!
分子に
の
①
となる x は
(分母)=0
1
ない。
(x-1)+2≧2
ゆえに 0<-
(x-1)+2
2
A≧B>0のとき
T
40
0<
よって, y=(gof) (x) の値域は
0<y≤
0 <1/1/1/1/1/1/1
B
y=(gof) (x) の定義域は実数全体であるから
