PR 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
③32
(1) α=5, an+1=3an+2.5n+1
(1) an+1=3a+25+1 の両辺を5" +1 で割ると
3 an
-+2
an+1
52+1
5 5"
an
bn=1 とおくと
bm
an+1
an
3"+1 3″
3
これを変形すると bn+1-5=--(bn-5) (S-₂6) E-=Sα=_=a+2²
{S- a=5
またb-5=05=22-5-4
よって,数列{b,-5} は初項 - 4,公比
bm-5=(-4)(23) ゆえに
から
したがって
an=56n=5n+1−20・3n-1
別解 an+1=3an+2.5 +1 の両辺を 37 +1 で割ると
bn=b₁+
5
ゆに
n-1
b₂+1=3²b₂+2
+2・
an
boo
bn とおくとbm+1=bn+2.23 )
5n+1
よって, n≧2のとき
+
=1 とすると
k=1
n-1
(13)
25
3
5n+1
k+1
---²--²--
(2) α=1, 8an+1=an+
01--5-
5-1
5
n
3
の等比数列である c = be 5 とおく
3
Cn+1=5Cn
4 - (- / -) ² - ²
b=5-4･
- (-)
またb=1
5\n-1
+ ² · (³){ (-)-1}
5
5-(5)-20-5
5
であるから, ① は n=1のときにも成り立つ。
an=3"bn=5"+1-20・37-1
20
3
An-1
3-1-((-+ R)\\
・1
...1
3
2n
5
3
3
←{bn}の階差数列を
{C} とすると
Cn=b₂+1-b₁=21
2・
の中の初項は
5/3
初項は特別扱い
2
PR
③33
(1)
9
