Question

お

線で引いてあるところの計算方法がわからないので教えてもらいたいです。

PR 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
③32
(1) α=5, an+1=3an+2.5n+1
(1) an+1=3a+25+1 の両辺を5" +1 で割ると
3 an
-+2
an+1
52+1
5 5"
an
bn=1 とおくと
bm
an+1
an
3"+1 3″
3
これを変形すると bn+1-5=--(bn-5) (S-₂6) E-=Sα=_=a+2²
{S- a=5
またb-5=05=22-5-4
よって,数列{b,-5} は初項 - 4,公比
bm-5=(-4)(23) ゆえに
から
したがって
an=56n=5n+1−20・3n-1
別解 an+1=3an+2.5 +1 の両辺を 37 +1 で割ると
bn=b₁+
5
ゆに
n-1
b₂+1=3²b₂+2
+2・
an
boo
bn とおくとbm+1=bn+2.23 )
5n+1
よって, n≧2のとき
+
=1 とすると
k=1
n-1
(13)
25
3
5n+1
k+1
---²--²--
(2) α=1, 8an+1=an+
01--5-
5-1
5
n
3
の等比数列である c = be 5 とおく
3
Cn+1=5Cn
4 - (- / -) ² - ²
b=5-4･
- (-)
またb=1
5\n-1
+ ² · (³){ (-)-1}
5
5-(5)-20-5
5
であるから, ① は n=1のときにも成り立つ。
an=3"bn=5"+1-20・37-1
20
3
An-1
3-1-((-+ R)\\
・1
...1
3
2n
5
3
3
←{bn}の階差数列を
{C} とすると
Cn=b₂+1-b₁=21
2・
の中の初項は
5/3
初項は特別扱い
2
PR
③33
(1)
9

(2) 8an+1=an+
PR
③33
3
2n
4.2n+1an+1=2"an+3
bn=2"an とおくと
よって
の両辺に2" を掛けると
bear=-=-b₂+³
これを変形すると
また
bı-1=2′・α-1=2・1-1=1
よって, 数列{bm-1} は初項1,公比 - の等比数列であるから
Abn+1=b₂+3
an =
ba-1-1-(1)-¹
bn-1=1・
10212 6₂=1+(1)***
ゆえに
4
したがって
=
an
3
4
bn+1−1=—(bn−1)
4
k=1
n-1
別解 8an+1=an+ の両辺に 8” を掛けると
3
2"
bn=8"an とおくと
また b = 8.α=8・1=8
よって, n ≧2 のとき
n-1
LI
bn
2n 2n23n-2
=
8 +1α+1=8"an +3.4"
1
=+
bn=b₁+ Σ3•4²=8+₁
bn+1=bn+3.4"
n=1 とすると 4+4=8
b1 = 8 であるから, ① は n=1のときにも成り立つ。
bn
ゆえに
8n
4"+4.
8n
3.4(4"-1-1)=4+4.…… ①
4-1
=
1
2n 23-2
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
_1_1=3n-2
(2)=1/
an
第1章 数列 331
an+1=pan+q² 18
1章
いて.gが分数(=/12) PR
の場合である。
12/2 = 3 (12) と考え.
4a₂ +5
(12) で割る。すなわち
2" を両辺に掛ける。
+(1
f(n+1)a
=f(n)an+● の形にす
る方針。
◆初項は特別扱い
数列 (bg)の階差数列
の一般項が3m-2