(2)の解答の2行目の最後の(-1)のk+1乗になるのがわかりません。

条件 <r<1) こすると 題 116 考えて 二発散, 二発散。 数列 ■項 B) だが, 厳密 13 1 次の 無限 級数の (ア) √3+3+3√3+・・・ 00 n (2) 無限級数 2 (1/13 ) 'sin n=1 ∞ n=1 4 8 1-(-√3)= 2+√3 nπ 2 指針 無限等比級数 Larl=a+artare+... の収束条件は α = 0 または |r|<1 [1] a=0, [r|<1のとき 収束して、和は [2] a=0のとき 収束して,和は0 (1) 公比r r|<1, r≧1のどちらであるかを,まず確かめる。 CHART 無限等比級数の収束、発散 公比 ±1が分かれ目 0, 発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 (イ) 4-2√3+3･・ 解答 ()()初項は、3,公比r=√3でr>であるから、発散する。 (イ)初項は 4,公比はr=- 2√3 √√3 4 2 の和を求めよ。 11 3 2 n=2kのとき sin 7- =sinkr=0 2 よって,数列{(1/23) 'sin"} は 1/3+1/1/20 9 == 8(2-√3) (2+√3)(2-√3) (2) 自然数とすると n=2k-1のとき sin=sin(kr-)= -coskz=(-1)+1 1 .... 35 0, ....... l-r 3 10 0, で, r<1であるから, 収束する。和は -=8(2-√3) 0<01+01 0000 p.202 基本事項 [1] (3+√√2)+(1-2√√2)+(5-3√2)+... ((2) 愛知工大] (初項) 1- (公比) 3 33 37' n の 3 となる。ゆえに,(1/23 ) 'sin "は初項 1/13,公比1/13 無限等比数列/-/ 32 2 n=1 のとみる。 無限等比級数であり,公比rはr<1であるから収束する。 その和は 1-(-23/12) 3² 練習 (1) 次の無限等比級数の収束、発散を調べ, 収束すればその和を求めよ。 118 0 (1) 2+2√2+4+...... (ア) 1 nπ ■まず sin- がどのような 2 値をとるかを, nが奇数・ 偶数の場合に分けて調べる。 んが整数のとき cos kn= 35⁹ 1 (k が偶数) ( =(-1)* 203 (初) 1- (公比 ) p.216 EX88 4

(1)の解説の5行目以降が全然分からないので教えてほしいです！

214 00000 重要 例題 128 複素数の累乗に関する無限級数 zを複素数とする。 自然数nに対し, 2” の実部と虚部をそれぞれxn とynとして、 2つの数列{x}, {y} を考える。 つまり, z" = xn+iyn (i は虚数単位) を満たして いる。 (1) 複素数zが,正の実数と実数0を用いて z=r(cos0+isine) の形で与え られたとき,数列{x},{y} がともに0に収束するための必要十分条件を求め よ。 1+3iのとき, 無限級数xとyはともに収束し,それぞれの和 10 n=1 (2) z=- はΣxn= n=1 指針 (1) まず, z=r(cos0+isine) の両辺をn乗した式に注目して, xn, yn をそれぞれn, r 0 で表す。 そして, xn2+ym² を計算するとの形になるから,数列{x},{yn} がともに 必要条件 0 に収束するとき, 数列{x^²+y^²} が0に収束するための条件を求める。 無限級数 部分和の収束・発散を調べる (2) 2 k まず,初項z,公比zの等比数列{z}の部分和 ②2 を求める。そして、 k=1 y=1である。 n=1 ②2=2xn+iye が成り立つことから,部分和之x, y が求められる。 J=1\ k=1 k=1 部分和の極限を調べる際は, (1) の結果も利用する。 解答 (1) z=r(coso+isin0) [r>0] のとき z"=r" (cosno+isinn0)=r” cos n0+ir "sinno よって ゆえに limxn=limyn=0のとき 12400 7248 Yk xn=r"cosno, yn=r"sinno x² + y²=(r) ² (cos² no+sin² n0) = (²)″ 330 lim(x₂²+y₂²)=0.00 (2) 2=1+√ i 10 k=1 のとき よって 0≤r² <1 > 0 であるから 0<r<1 (*) 逆に, 0<r<1のとき, -1≦cosn0 ≦1であるから -r≤r" cos no ≤r" 0<r<1であるから limr"=0, lim(-r") = 0 よって limr"cosno=0 780 -1≦sinn0≦1から,同様にして limr"sinn0=0 ◄-r≤r sin ne≤r" ゆえに、0<r<1のとき, 数列{x},{y} はともに0に収束する。 limx=0,limy=0 以上から 求める必要十分条件は 0<r<1 700 基本 118,119 00 _2(1-22-12 (1-(xn+iya)} z(1-z") ド・モアブルの定理。 ◄z"=xn+iyn +=c +5 無限等比数列が 0 に収 束する条件は -1< (公比) <1 (*) ここから, 十分条 件であることの確認。 はさみうちの原理。 初項z,公比zの等比 数列の初項から第n項 POAT までの和。

解答の１行目の式の変わり方がなぜそうなったのか、分かりません。解説お願いします

5 応用 rキー1のとき, 第n項が 例題 2 各場合について求めよ。 (1) r>1 (3) |x|<1 解 (1) >1のときは mn よって lim- n→∞1+rn (2) r=1のときは よって mn lim n→∞1+yn (3) r <1のときは よって mn lim n+001+rn (4) r <-1のときは mn 1+rn で表される数列の極限を、次の (2) r=1 (4) r<-1 |||<₁ <1 =lim n→∞ 0+1 limr"=0 n→∞ 0 = r"=1 1 1+1 2 0 1+0 ||||<₁ よって, (1) の場合と同様に rn lim 1 n→∞1+yn 1 n +1

無限等比数列の2番の問題なのですが、答えがなくて答え合わせができないのであってるか答え合わせお願いします！

問 13 次の数列の極限を調べよ。 (1) 1 n 1+r" (ただし, r-1) E } m2n+1 1+r²n

問題の⑵が分からないです。　自分は2枚目の様にやったのですが答えの式変形が分からないです。　なぜ僕のやり方では答えがでないのですか？

90 rは定数とりる 人の数列の態限と明 1 *(1)r>0 のとき (2) rキ+1 のとき yn-1 1+rm 水 201 (3) rキ0 のとき n 91 次の数列が収束するように, 実数zの値の範囲を定めよ。また, そのとき の数列の極限値を求めよ。 (1) {(z-2z-1)"} LM2) {()) aer 2c 2+1 例題 15| 極限で表された関数のグラフ 関数 f(z)=lim 1 について,y=f(z) のグラフをかけ。 8ー Te n→0 1+2n 指針) の極限は,|z|>1, r=±1, |z|<1 で場合分けをする。 解答) [1] ||>1 のとき lim z*"=o であるから ,2n 94

数Ⅲの無限等比数列の極限を求める問題についてです。 8のn乗で全体を割って０に収束する とできないのはなぜですか？ 他の問題でも同じような間違いをするんですが理由が分かりません どの数で割るか決まりがあるんでしょうか

4 2 87 3 232 =lim n→0 37+67 (4) lim =lim 12 +1 2 37+6 n→0 n→0

数3の無限等比級数です。 赤で引いた部分がなぜk+1乗になるのか分かりません。 教えていただきたいです🙇🏻‍♀️

基本例題118 無限等比級数の収束, 発散基本 次の無限等比級数の収束,発散を調べ,収束すればその和を求めよ。A (イ) 4-2/3 +3-… (7) V3 +3+3/3 + n nπ )無限級数 () sinの和を求めよ。B (2) 愛知工大) 3 2 n=1\ p.202 基本事項] CO 指針>無限等比級数 Ear"!=a+artar?+………の収束条件 は a=0 または「r|<1 n=1 [1] aキ0, |r|<1のとき 収束して,和は a 東 1-r [2] a=0 のとき 収束して,和は0 出公取() (1) 公比rが|r|<1, |r|21のどちらであるか を,まず確かめる。 CHART 無限等比級数の収束,発散 公比 ±1が分かれ目 THAHC であるから 解答 (1)(ア) 初項は、3,公比はr= 2/3 ア=V3 で,|r|>1であるから,発散する。 (イ) 初項は 4, 公比はr=- 4 3 で,r|<1であるから,収束する。和は 2 4 V3 8(2-V3) (2+/3)(2-V3) -=8(2-/3) (初項) 1-(公比) 2+/3 1- nπ (2) kを自然数とすると 000 まず sinがどのような 2 n=2k-1のとき sin=sin(krー)= - cos kn=(-1)*+1円 2 値をとるかを,nが奇数· 偶数の場合に分けて調べる kが整数のとき 2 sin- 2 100- nπ =sinkr=0 0<al+) n=2k のとき /範色がのピャら 0をなくしてK 1(kが偶数) cos kn={ よって,数列()sinは -1(kが奇数) =(-1) こ 0, 3' 1 0, 3° 37 0, -1 0.000 1 の|(無限等比数列-,-- n となる。ゆえに,()sinは 初項,公比 2 3 3° n=1 1 の和とみる。 無限等比級数であり,公比rは|r|<1であるから収束する。 35) (初項) 1-(公比) 1 1 1 3? 3 その和は 3 10 こ J間

例題2の(2)や、練習8(3)のような問題で、どうやって、何で、括ったり、割ったりしていいのかが判断がつきません。学校を休んでしまっていて、説明が聞けていないので、詳しく説明していただけると、嬉しいです！よろしくお願いします🙇‍♀️

例題 次の極限を求めよ。 2 47+1-37 57-47 (2) lim 37 2→0 4"+37 ○-u 3 n 4 47+1-37 解(1) lim 4 =4 3 =lim 2→0 4"+372円 n n→0 1+ 4 4 57 57-47 (2) lim =lim 37 5m 3円ってしちめだめ? 37 n→0 n→0 5 =lim n n 三○ n→0 練習 次の極限を求めよ。 8 5"+2" 37-4" 4"+5" ;3"-52+1 13) lim n→00 27+1 2わっンう ○ [めなん (2) lim 37 n→0 n→0 のマk 第4章

絶対値をつけて考える時と-1と1のどちらかで比較する場合も教えてくださいm(_ _)m

184 (1) | <1であるから lim =0 ガ→ o3 (2) >1であるから lim 3 <1であるから lim =0 (4) -3<-1であるから, この数列は振動して, 極限はない。 (5) /2 - 1|<1であるから lim (/2-1)"=0 ガ→0 1+V2 1-2 1 -(1+V2)より -= 1-2 1 く-1であるから, この数列は振動し 1-V2 て,極限はない。 33

この問題の解き方が全く分からないです。 はじめに何をしたらいいのでしょうか？

x2n - x2n-1+ax2+bx |2| f(x) = lim とする。関数 f(x) がすべての実数 xで連続となるように, 定数a, bの値を定め x2n+1 n→0 よ。