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数学 高校生

(1)(2)ともにまったく分からないので教えてください!

[大] 大] 重要 例題 9 二項定理の利用 (1) 101 ' の下位5桁を求めよ。 (2)2 00で割った余りを求めよ。 CHART & THINKING のののの 23 基本 (1),(2) ともに, まともに計算するのは大変。 (1) は,次のように変形して、 二項定理を利用する。 1011= (100+1)100= (1+102) 100 展開した後, 各項に含まれる 10 に着目し, 下位5桁に関係する箇所のみを考える。 (2)も二項定理を利用するが,どのようにすればよいだろうか? →900=302 であることに着目し,2930-1 と変形して考えよう。 解答 (1) 1011=(100+1)100= (1+102) 100 =1+100C1・102+100C2・10+100C3・10°+100C4・10°++10200 =1+100C1・102+100C2・10+10%(100Cs+100C4 ・ 102 +... +10194) ここで, a=100C3 +100C4・102 +…+10194 とおくとaは自然数で 101100 = 1+10000 + 49500000 +10°α =10001+49500000 +10°a =10001+105(495+10a) 10 (495+10a) の下位5桁はすべて 0 である。 よって, 101100 の下位 5桁は 10001 (2) 2945(30-1)45=(-1+30)45 =(-1)^5+45Ci (−1)44・30+45C2(-1)43・302+45C3(-1)42・303 ■■ 1章 1 3次式の展開と因数分解,二項定理 分散式は、 +…+45C44(-1)・304+3045 第3項以降の項はすべて 302=900で割り切れる。 また,(-1)45=-1, -1) =1であるから -1+45・1・30=1349=900・1 +449 よって, 2945 を900で割った余りは 449 大←第1項と第2項の和は 900 より大きい。 計算への応用 INFORMATION 上と同じ考え方で, 複雑な計算を暗算で行うことができる。 例えば,9992 は 9992=(1000-1)=1000000-2000+1=998001, 4989×5011 は 4989×5011=(5000-11)×(5000+11)=50002-11=25000000121=24999879 と計算 できる。

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数学 高校生

(1)についてです。 解答の2行目から3行目のところが理解できません。 解説よろしくお願いします。

38 重要 例題 19 因数分解 (3次式) 00000 (1) α+6=(a+b)-3ab(a+b) であることを用いて,a+b+c-3abc を因数分解せよ (2)x-3xy+y+1 を因数分解せよ。 CHART & SOLUTION 3次式の因数分解 (1) 組み合わせを工夫して共通因数を作る。 まず,'+6について+6=(a+b)-3ab(a+b)を用いて変形すると a+b+c-3abc=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc 次に,(a+b)+c について, a+bを1つの文字とみて (a+b)+c={(a+b)+c}{(a+b)-(a+b)c+c} 基本11 また,-3ab(a+b)-3abc=-3ab(a+b+c) であるから,共通因数a+b+cが現れる。 (2)1=13 と考えると, (1) の結果が利用できる。 まとめ 多項式の積の ができる。 し ことも多い。 ここでは, しながら因 (1) 共通 すべての 例 6c 項の組み 例 (2) まと 例 G 41 (1) a+b+c³-3abc =(a+b)+c-3abc =(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc =(a+b)+c-3ab(a+b)-3abc まず, +6 を変形。 3ab が共通因数。 8+1a-(x+ ← A'+c3 =(A+c)(A2-Ac+c^) ← (a+b+c) が共通因数。 +x (x)= ={(a+b)+c}{(a+b)-(a+b)c+c2}-3ab{(a+b)+c} =(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c)-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c-3ab) 2002 T ( 2 (2)x3xy+y+1 =(a+b+c)(a+b2+c-ab-bc-ca) 3=x+y+13-3.x.y.1 108 BRE =(x+y+1)(x+y+12-xy-y・1-1・x) =(x+y+1)(x2-xy+xy+1) ← 輪環の順。 113 と考えると, (1) の 結果が利用できる形に 変形できる。 項の組 例 (3)最 2つ以 例 a → x, b→y,c→1と 考える。 “た 例 (4) 例 (5) POINT (1) の結果は利用されることもあるので,公式として覚えておくとよい。 a+b+c-3abc = (a+b+c)(a+b2+c2-ab-be-ca) 例えば、 また,これから,対称式+b+cは, (a+b+c)2=a+b2+c+2ab+2bc+2ca を利用すると,次のように基本対称式で表されることもわかる。 a+b°+c°=(a+b+c){(a+b+c)-3(ab+bc+ca)}+3abc 因な PRACTICE 198 次の式を因数分解せよ。 (1)x+3xy+y-1 (2) x³-8y3-23-6xyz と

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数学 高校生

格子点の個数で(1)って(2n-2k+1)の+1ってどこから来たのですか?

133 格子点の個数 3つの不等式 x≧0, y ≧0, 2x+y≦2n (nは自然数)で表さ れる領域をDとする. (1) D に含まれ, 直線 x=k (k=0, 1, ...,n) 上にある格子点 精講 (x座標もy座標も整数の点)の個数をんで表せ。 Dに含まれる格子点の総数をnで表せ. 計算の応用例として, 格子点の個数を求める問題があります。 れは様々なレベルの大学で入試問題として出題されています。 格子点の含まれている領域が具体的に表されていれば図をかいて数 上げることもできますが,このように, nが入ってくると数える手段を知ら ないと解答できません. その手段とは,ポイントに書いてある考え方です。 ポイントによれば, 直線 y=kでもできそうに書いてありますが、こちらを 使った解答は (別解) で確認してください. (1) 直線 x=k上にある格子点は 2n x=k (k, 0), (k, 1), …, (k, 2n-2k) 2n-2k の (2n-2k+1) 個. 注 y座標だけを見ていくと, 個数がわかります. n (2)(1)の結果に,k=0, 1, ..., n を代入して すべ て加えたものが,Dに含まれる格子点の総数. 0 X n Σ(2n-2k+1) 【等差数列 k=0 =n+1(2n+1)+1} 2 10=(n+1)2 注 計算をする式がんの1次式のとき, その式は等差数列の和を表 しているので、12/27 (atan) (12) を使って計算していますが,もち 等差数列の和の公式 n n ろん,∑(2n+1)-2Σk として計算してもかまいません. k=0 k=0

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