Question

小さいバナナ

格子点の個数で(1)って(2n-2k+1)の+１ってどこから来たのですか？

133 格子点の個数
3つの不等式 x≧0, y ≧0, 2x+y≦2n (nは自然数)で表さ
れる領域をDとする.
(1) D に含まれ, 直線 x=k (k=0, 1, ...,n) 上にある格子点
精講
(x座標もy座標も整数の点)の個数をんで表せ。
Dに含まれる格子点の総数をnで表せ.
計算の応用例として, 格子点の個数を求める問題があります。
れは様々なレベルの大学で入試問題として出題されています。
格子点の含まれている領域が具体的に表されていれば図をかいて数
上げることもできますが,このように, nが入ってくると数える手段を知ら
ないと解答できません. その手段とは,ポイントに書いてある考え方です。
ポイントによれば, 直線 y=kでもできそうに書いてありますが、こちらを
使った解答は (別解) で確認してください.
(1) 直線 x=k上にある格子点は
2n
x=k
(k, 0), (k, 1), …, (k, 2n-2k)
2n-2k
の (2n-2k+1) 個.
注 y座標だけを見ていくと, 個数がわかります.
n
(2)(1)の結果に,k=0, 1, ..., n を代入して すべ
て加えたものが,Dに含まれる格子点の総数.
0
X
n
Σ(2n-2k+1)
【等差数列
k=0
=n+1(2n+1)+1}
2
10=(n+1)2
注 計算をする式がんの1次式のとき, その式は等差数列の和を表
しているので、12/27 (atan) (12) を使って計算していますが,もち
等差数列の和の公式
n
n
ろん,∑(2n+1)-2Σk として計算してもかまいません.
k=0
k=0

Answer 1

和

図のようにざっくり数えてもいいですし、
次のように考えてもいいです

一般にA, ……, Xまでの連番があるとき、
その個数はX-A+1です

理由①
1〜XまでにX個、
1〜Aの1つ手前までにA-1個なので
X-(A-1) = X-A+1個

理由②
連番A, ……, XのすべてからA-1だけ減らすと
1, ……, X-(A-1)になるので、
個数はX-(A-1) = X-A+1です

もしくは、
少ない例から類推します
10〜15までの個数は15-10=5個か？
実際書き並べると10,11,12,13,14,15の6個
つまり15-10+1
+1するのだったと思い出せます