るため
する。
ev ev
110
方程式の整数解 (4) CANTOJA
例題270
不定方程式 2x+3y+z=10 を満たす自然数の組(x, y, z) をすべて求
めよ.
考え方 整数解ではなく, 自然数解であることに注意する.
すなわち, x1,y≧1, z ≧1
・･・・・・・(*) である.
1つの文字について整理すると, 3y=10-2x-zであり, x≧1, z≧1 であるから,
TR.
3y=10-2x-z≦10-2×1-1=73)
これより,yの値が見えてくる.このように(*)を利用して値を絞り込む.
3y=10-2x-2
x, zは自然数であるから,x≧1 ≧① より。
3y=10-2x-z≦10-2×1-1=7
解答 与式をyについて整理すると,
ましたがって,y≧1/27より。
3
300< .0<
Focus
y = 1, 2
(i)y=1のとき, 2x+3+z=10 より,
2x+z=7 ......①
0:
z≧1 より,
2x=7-z≦7-1=6
したがって,x≧3より、x=1,2,3
①より,
(x, z)=(1, 5), (2, 3), (3, 1)
< (ii)y=2 のとき, 2x+6+z=10より,
512x+z=4
・②
z≧1 より,
したがって、x=2123 より
x≦
よって,
2x=4-z≦4-1=3
② より, (x, z)=(1,2)
x=1
3 不定方程式 565
(x,y,z)=(1, 1,5), (2,1,3),
(3, 1, 1), (1, 2, 2)
****
求める解が自然数のときは,
とり得る値の範囲に注意して 「値を絞り込む」
について整理するの
は,係数が最も大きい
から。(下の注>を参
照)
1sys/ を満たすy
の値は、1と2
同様に,次はxの値を
絞り込む.
40 1=
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