(3)なのですが、bが当たる確率を求めるのですが、aは指定されてないので①aとb両方当たる確率②bのみ当たる確率に場合分けしないといけないと思うのですが、この場合、問題文にaは書いてないけど推測してaがあるかないかを考えないといけないのですか？ 語彙力がなくてすみません🙇‍... 続きを読む

例題 209 確率の乗法定理(1) **** 当たりくじが3本入っている 10本のくじがあり, a, bがこの順でくじ を引く。次の確率を求めよ.ただし, 引いたくじはもとに戻さない. (1) αが当たる確率 (3) bが当たる確率 (2)aもも当たる確率 考え方 同様の確からしさを保つため, くじはすべて区別する. 続けて2人引くので引いた 本のくじを1列に並べると考える。 事象A:αが当たる, 事象 B:6が当たるとする。 10 101 濳 (1) P(A)=3 (2) くじを2本並べると考えると, 全事象は, 10P2=10×9 (通り) 1番 人の目 もも当たるのは,当たりくじが並ぶときで、 3P2=3×2(通り) よって, 10本の中に当たり くじ3本 続けて引くので,全 事象は10×9 このように、くじを 1列に並べていく、 3×2 1 P(A∩B)=10×9 15>つまり 7×3(通り) (3) αがはずれ, 6が当たるのは, (2)と合わせて, 6が当たる確率は, 3×2 7×3 3する) + = 10×910×9 10 P(B)= そのうち、当たりを引く >つまり、「くじの並 「べ方」と考えればよ い。 dodox .00 or (1)(3)より, P(A)=P(B) がわかる.

数A 確率 （ウ）の4C2/9C2のところなのですが、反復試行で計算するときと写真のようにCを使って計算するときの違いを教えていただきたいです🙇🏻

頻出 ★★☆☆ bがこの順に もとに戻さ が変わる (試行が ●くじ 238 乗法定理[2] 頻出 ★★☆☆ 袋には白球5個, 黒球4個, 袋Bには白球5個, 黒球3個が入ってい 個の球を同時に取り出すとき 2個とも白球である確率を求めよ。 る。 袋Aから2個の球を同時に取り出して袋Bに入れた後, 袋Bから2 場合に分ける 条件より, 袋Aからどの色の球を取り出すかによって,袋Bに 入っている白球の個数が変わる (試行が独立でない)。 [2個取り出し 袋Bに入れる 2個取り出す 5個 黒 4個 袋 A 袋B Action 独立でない試行は,段階に分けて各試行の確率を考えよ 例題 237 袋A 袋B (ア) 白球2個取り出し, 白球2個取り出す ■くじ 袋Bから白球) (イ) 2個取り出す 白球1個) 黒球1個 取り出し, 白球2個取り出す 「いたくじが当たり であるとき, 残るく 本で,その中には くじが2本含まれ から 3-1 10-1 2-9 (ウ)黒球2個取り出し, 白球2個取り出す 袋Aから取り出す 2個の球の色により, 次の場合に分けて 考える。 (ア) 袋Aから白球を2個取り出すとき 6 章 この確率は5CC 9C2 17 袋Bには白球7個と黒球3個が入っているから × 9C2 5C2 7C2 10 C2 7 54 5C1X4C1 (イ)袋Aから白球と黒球を1個ずつ取り出すとき 袋Bには白球6個と黒球4個が入っているから この確率は 9C2 いろいろな確率 10 C2 ■ は, a がはずれく 「いたとき, bが当 じを引く確率 (当 じは3本) である 3 1 10-1 3 ...,n) に りくじを引く 例題 18 参照) がこの順に1本 引いたくじはも 問題237 5C1X4C16C2 5 27 9C2 × (ウ)袋Aから黒球を2個取り出すとき 袋Bには白球5個と黒球5個が入っているから 4C2 5C2 × 9C2 1 10 C2 27 (ア)~(ウ)は互いに排反であるから、求める確率は 7 5 1 19 54 + + 27 27 54 (d) 188 4C2 この確率は 10人のうち 確率の加法定理 238袋 A には白球6個 黒球4個, 袋Bには白球5個, 黒球3個が入っている。 袋 時に取り出して袋Aに入れる。 このとき, 袋Aの中の白球と黒球の個数が最 Aから2個の球を同時に取り出して袋Bに入れた後, 袋Bから2個の球を同 初と変わらない確率を求めよ。 p.447 問題238 431

条件付き確率のイメージが湧きません。 最後に÷3/1をするという理由自体は白玉が取り出される確率が1/3なので分かります。しかし、Cの袋から取り出せれる確率が1/10で、そこから÷1/3をする事で確率が求まるイメージが湧きません。そもそも白玉が取り出されたと分かっているなら... 続きを読む

(2)袋Cを選ぶという事象をCとおくと P(WNC)= 3 1 30 = 10 P(W∩C)1.1_3 :: Pw(C)= P(W) 02 = = 10 3 10 WOC とは (1) の のこと 条件付確率

この解説中に何度も順序(回)に対する意識を持ちなさいと書かれているのですが、例えば(1)において順序を気にしなかった場合どのような点でおかしなことになるのでしょうか。念の為失敗パターンも知っておきたいと思うのですが、まだ順序の区別への理解が足りていないせいかこの解答以外考え... 続きを読む

ITEM 確率 14 独立反復試行 ステージ1 原理原則編 確率 ① ③ 11111 3 3 3 3 3 第1回がA 一第5回がA ステージ1 原理原則編 確率 「サイコロを投げる」などの試行を, 毎回同じ条件のもとで繰り返し行うときの確率 について考えます。 米! 各回における確率は一定. これを,順序を意識して掛ける. (例題14 (1) 1つのサイコロを5回投げるとき,5回とも3の倍数の 目が出る確率を求めよ. (2) 1,2,3,4,5,6の6枚のカードが入った箱からカードを1枚取り出し, 番号を記録してから元に戻す. この試行を5回繰り返すとき, 5回とも3 の倍数のカードが取り出される確率を求めよ. 「着眼) 5回反復 1, 2, 3, 4, 5, 6 試行を視 (1) もちろん, サイコロを投げる各回の試行は独立です. したがって ITEM 11 の乗法 定理 (独立試行) を用い, 各回における事象の確率を掛けることで求まります。 (2) 本間のポイントは取り出したカードを元に戻 してから次のカードを取り出すことです(「復元 抽出」といいます)。 つまりカードを取り出すと き 箱の中には毎回「1, 2, 3, 4, 5.6」の6枚の カードが入っていますから, ある回におけるカ ードの出方は,他の回のカードの出方に一切影響力をもちません。 つまり (1) と同 様, 各回の試行は独立です. お気付きの通り, (1) と (2) は, 本質的にまったく同じ問題です. (笑) 上記のような独立試行の繰り返しを 「反復試行」といいます. 本書では今後,より詳し く 「独立反復試行」 と呼ぶことにします。 「解答 (1) 各回において起きる事象とその確率は A: 「3の倍数 (3 or 6) が出る」... このように、 ①で乗法定理(独立試行) を用いた際には「順序を区別して考えている」 ということをしっかり確認しておいてください. これは, Stage 1 「場合の数」 ITEM 3 の で述べたことと同じです. なにしろ 「独立反復試行」ですから, 毎回毎回まったく同じ条件のもとで試行を行う ので、つい「回」に対する意識が希薄になってしまいがちです. この意識が欠けている と今後簡単にミスを犯します! (->ITEM56) 注意厳格なことをいうと本来は, 「第1回の目が3の倍数」 「第2回の目が3の倍数」. ･･･は異なる事象ですから事象 A1, A2, ・・・などと区別して名前をつけるのが正しいです がちゃんと順序を区別して考えることが実行されていれば,とくに表現上の不備に よって減点されることはないでしょう. 補足 本間 (1) を 「異なる5個のサイコロを1回投げる・・・(*)」 に変えても, 「1回,2回, 3回,4回,5回」という「回」の区別が 「サイコロ a, b, c,d,e」という「モノ」の区別に すり替わるだけで、実質的に同じ試行であり、答えも全く同じになります。 要するに,本間の (1) (2) や (*) のように,各々の試行が独立に行われる場合には, 乗法定理(独立試行) を用いて解答できるのです. 「独立試行」という 参考〕 前 ITEM の 例題13 を,本ITEM のテーマである 「乗法定理 (独立試行)」で解いて みると,次のようになります. 順序は考えていない ○サイコロの目からなる連続する2つの整数の組合せは {1, 2}, {2,3}, {3, 4}, {4, 5, {5,6}の5通り. ○上記それぞれに対し, サイコロを区別すると2!通りずつの目の出方が対応するか ら,サイコロを区別したとき条件を満たす出方は 5・2!=10(通り). ○上記各々の確率は,全て (1) ･･･サイコロを区別して乗法定理を用いている 5 ○よって求める確率は, 10. (12) 最 A: 「それ以外が出る」 1- もよい 求める確率は, Aが5回連続する確率であり, ...① (1)① (2 (2) 求める確率は,3の倍数 (3 or 6) が5回連続して出る確率であり, =・ (2)=(-1)=2 類題 14 reokowaretenner でスキャン 白玉2個と赤玉5個が入った箱から玉を1個取り出し, 色を記録してか ら元に戻す.この試行を3回繰り返すとき, 3回とも白玉が取り出される確率を求めよ. 解答 解答編 p.4). 48 →4・122-3 49 72

統計的な推測 まず、（AとB）で、 求めたP(A)と求めたP(B)をかけたのと、 P(A)かつP(B)にあてはまるのを一つずつ数え上げたもの、 この方法で出た2式を比べている、という認識をしているのですが（違っていたらご指摘下さい）、 （AとC）は 数え上げの後、何をや... 続きを読む

基本 例 71 独立・従属の判定 00000 1個のさいころを2回続けて投げるとき,出る目の数を順に m,nとする。 <3である事象を A, 積 mn が奇数である事象をB, |m-n|<5である事象を Cとするとき, AとB, AとCはそれぞれ独立か従属かを調べよ。 p.520 基本事項 指針 事象が独立か従属かの判定には,次の関係式のうち確かめやすいものを利用する。 (定義) 事象AとBが独立⇔P(B)=P(B) P(A)=P(A) ⇔P(A∩B)=P(A)P(B) (乗法定理) ここでは, 乗法定理が成り立つかどうかを確認する方法で調べてみよう。 (AC) Cについて, m-n<5を満たす組 (m,n) の総数は多いので、余事象で を考えてみる。 AとCが独立AとCが独立であることに注目して,AとCが独立か従属 かを調べる。 (AとB) A∩Bは、 (AB) P(A)=1/2/28-1/13 (m, n) = (1,1), (1,3), 解答 また,積mn が奇数となるのは,m, nがともに奇数の (1,5) となる事象である 3×3 1 から ときであるから P(B)= 62 4 P(A∩B) P(B)= よって P(A)P(B)=1/12 P(A) 3626 また,m<3かつ積n が奇数となるには, 一方,P(B)=- -- であるか (m, n)=(1,1) (1,3) (15) の3通りがあるから ら P(B)=P(B) よって, AとBは独立。 ゆえに 3 P(ANB)=-11 62 12 P(A∩B)=P(A)P(B) よって, AとBは独立である。 (AC) 余事象は|m-n≧5 となる事象, すなわち (m,n) = (1,6), (61) となる事象である。 Cの根元事象の個数は 2 個。 2 1 よってP(C)= 62 18 また # P(ANC)==136 62 Anではm<3 かつ 1 ゆえに、P(A)P(T)= 1 1 F = 3 18 54 であるから m-n≧5となる事象 で、そのような(m,n) P(ANC) ≠P(A)P(C) よって, ACは従属であるから,AとCは従属であ る。 は (m,n)=(1,6)

この場合、なぜBの起こる場合の数が192通りになるのか教えて頂きたいです。 よろしくお願いします

PR 20本のくじの中に当たりくじが4本ある。このくじを a, b, c3人がこの順に, 1本ずつ1回 38 だけ引くとき,次の確率を求めよ。 ただし, 引いたくじはもとに戻さないものとする。 (1) aが当たり cも当たる確率 (1)a (2) aがはずれ, c が当たる確率 18 1-8 a,b,cがこの順に続いて引くとき,起こりうるすべての場合 | A∩B=Ø であるとき の数は 01 OP 08 01 + Bは20P3=6840(通り)、求区 18 18 (1)a が当たり cも当たるには,次の2つの場合がある。 A:aが当たり, b が当たり c が当たる場合 B:aが当たり,bがはずれ,cが当たる場合 Aが起こる場合の数は である。 4P3=24 (通り) A. ろの の Bが起こる場合の数は さ 当日 4×16×3=192 (通り) P(AUB)=P(A)+P(B) Linf.] 確率の乗法定理 参照)を使う (本冊p.340 と、くじ引きの問題は簡 単に答えられる。 例えば, (1) P(A), P(B), (2) のP(C), P(D) は,次のようにし て求められる。 A,Bは互いに排反であるから,求める確率は 60P(AUB) = P(A)+P(B) .(8 24 192 216 ++ = 6840 6840 6840 43 2 P(A)= 20 19 18 285 (2.8) 4 16 3 8 P(B)= = 3 (8 3|5 95 20 19 18 285 16 4 3 8 P(C)= ・ 20 19 18 2.85

この問題の⑴⑵の解き方を教えて欲しいです。答えは⑴が4/9.⑵が5/9です。

118 赤玉6個, 白玉4個が入った袋の中から,もとにもどさないで1個ずつ2 回取り出すとき, 最初の玉が赤である事象をA, 2番目の玉が白である事 象をBとする。 次の確率を求めよ。 *(1) P(B) (2)PA(B) 本 *(3) P(B) (4) PA(B)

61番の練習の解き方を教えてください　よろしくお願いします

を取り出すとき, 相 [1] 赤4,2 [2] 赤 3,3 [3] 赤 2, 白 4 X 5C2 6C2 したがって, 求める確率は 3C2 4C23C12C1 3C22C2 + 2C2 × + 5C2 6C2 5C2 6C2 3 6 6 = + X 1 3 + × 1 37 加法定理による。 (1) と同様に,乗法定理と 10 15 10 15 10 15 150 練習 袋Aには白球4個, 黒球5個, 袋Bには白球3個, 黒球2個が入っている。 まず、 ② 61 袋Aから2個を取り出して袋Bに入れ, 次に袋Bから2個を取り出して袋Aに戻 す。このとき,袋Aの中の白球, 黒球の個数が初めと変わらない確率を求めよ。 ま た袋Aの中の白球の個数が初めより増加する確率を求めよ。

写真の2枚目の黒枠で囲った部分がなぜこうなるのか知りたいです。途中式などもお願いします

41.x軸上を動く点Aがあり, 最初は原点にある。 硬貨を投げて表が出た ら正の方向に1だけ進み, 裏が出たら負の方向に1だけ進む。 硬貨を6回投 げるものとして,以下の確率を求めよ。出き 出を 参 (1) 硬貨を6回投げたとき,点Aが原点に戻る確率 (ID. (2) 硬貨を6回投げたとき, 点Aが2回目で原点に戻り,かつ6回目に原 点に戻る確率 を求めよ. * (3) 硬貨を6回投げたとき, 点Aが初めて原点に戻る確率 埼玉大)

確率の問題です。 解説の一部ですが、(i)は3c2/5c2 x 2c2/4c2ではないのですか？ 回答お願いします🙇

例題 58 確率の乗法定理 A,B2つの袋があり,Aには赤玉3個と白玉2個, B には白玉2個が ている。A から2個の玉を取り出してBに入れ、よく混ぜてから,Bから 個の玉を取り出す。このとき, B から赤玉が取り出される確率を求めよ。 考え方 解 A から取り出す赤玉の個数で場合分けをし、 確率の乗法定理を用いる。 TH (i) A から赤玉2個を取り出し, Bから赤玉を取り出す確率は, 3C22 3 23 = X 5C₂ 4 × 10 4 20 =