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数学 高校生

⑵でなぜcosC/2の値を求めるのですか?

AP.239 基本事項 1, 2 (重要161, 『本 例題152 和と積の公式 () cos 20° cos 40° )積→和,和一積の公式を用いて,次の値を求めよ。 (イ) sin75°+sin15° AABC において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。 -cos cos称 ア) sin75°cos 15° B C A -COS 2 sin A+sinB+sinC=4cos。 1aー(9+)aieト 指針>(2) AABCの問題には, A+B+C=π (内角の和は180°)の条件がかくれ 「A+B+C=nから, 最初に Cを消去して考える。… そして,左辺の sinA+sinBに 和→積の公式 を適用。 解答 (1)(ア) sin75°cos 15°= 2 (sin(75°+15°)+sin(75°-15°)} 2+/3 3 1+ 2 <公O =(sin90°+sin60°)= 4 V2 V3 75°-15° -COS 2200 =2sin45°cos 30°=2· ie-8-)aie (イ) sin75°+sin15°=2sin 75°+15° 2 2 2 11 -{cos60°+cos(-20°)}cos 80°: 1 +cos 20° )cos 80° 2 (ウ) cos 20°cos 40°cos 80°= 2 2 nie+ ()1 1 {cos 100°+cos(160°)} 2 2 1 1 -cos 20° cos 80°= 2 -cos 80°+ 4 -cos 80°+ 4 1 cos 80°+ 4 96 "cos 100°+ 4 1 1 =cos 80°+-cos(180"-80") + 1 1 8 4 4 8 1 -cos 80° 1 Cos 80°+ 4 ieon 1 1 ミ 8 8 (2) A+B+C=πから C=π-(A+B) ゆえに sinC=sin(A+B), A+B A+B π =COS 2 =sin 2 COS 2 20 A+B COS 2 (8-)eo A+B よって sin A+sinB+sinC=2sin- A-B -+sin2·4+B0-0 ホ3 2 2. A-B aie +cos A+B =2sin くのく会のとき、 0の方性式 8=2cos COS 2 2 C A B ような正の整数 の *2cos 2 2 COS -kon 。 =4cos A g cos cos e B C 大) るす人分の "COS 2 2 2ie

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数学 高校生

なぜ赤丸のような式ができるのでしょうか?

本例題5 コ項係数と等式の証明 k,Ck=nn-1Ck-1(n22, k=1, 2, (1+x)"の展開式を利用して,次の等式を証明せよ。 )»Co+»Ci+ C2+………+,C,+…………+,Cn=2" )Co-Ci+»C2-……+(-1)"C,+……+(-1)",Cn=0 n)が成り立つことを Faneon n! (0 C,= を利用して,k,Ck, nォ-1C&-1 をそれぞれ変形する。 (2)(ア)二項定理(b.11 基本事項4)において,a=1, b=xとおくと (1+x)"=,Co+,Cix+,Cax°+……+,Crx"+………+,C.x" 等式のと,与式の左辺を比べることにより,①の両辺でx=1とおに づく。同様にして,(イ), (ウ) では rに何を代入するか を考える。 答 n! k,Ck=k =n イn!=n(n-1)! に。 =-1Cォ-1=n =n (k-1)!{(n-1)-(k-1)}! k,C=nn-1C&-1 二項定理により,次の等式①が成り立つ。 たがって すべてのxの値に対し (1+x)"=,Co+Cix+»C2x?+…+,Crx"+………+»Cnt" ) 等式①で,x=1とおくと (1+1)”=,Co+»C.·1+»C2·1°+……+.C,·1"+… +»Cn* Co+,Ci+»C2+ +,C;+ +C=2" よって )等式ので,x=-1 とおくと (1-1)”=,Co+»C,·(-1)+»Ca·(-1)°+…………++C, (一1)"+… »Co-,C.+,C2-…+(-1)",Cr+……+(-1)",Cn=0 よって う) 等式0で,x=-2とおくと (1-2)"=,Co+,C,·(-2)+»Ca·(-2)°+…+,C, (一2)"+…… よって Co-2,C.+2°,C2-……+(-2)" C,+………+(-2)",Cn=( R,C&=Do-1C&-1 (22; k=1, 2 かを素数とするとき, (1)から この式はpC が必ずかで割り切れることを示している。

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